Bei einem Akkord-Diagramm , was die Komplexität der Berechnung der reduzierte Clique Graph ?

Ein Graph ist akkordisch, wenn er keine induzierten Zyklen mit einer Länge von oder mehr induziert hat . Ein Cliquenbaum von ist ein Baum, in dem die Eckpunkte des Baumes die maximalen Cliquen von . Eine Kante in entspricht einem minimalen Trennzeichen. Die Anzahl der verschiedenen Cliquenbäume kann in der Anzahl der Eckpunkte in einem Akkordgraphen exponentiell sein.4 T G G $G$$4$$T$$G$$G$$T$

Die reduzierte Clique Graph ist die Vereinigung aller Clique Bäume von . Das heißt, es hat alle gleichen Eckpunkte und alle möglichen Kanten. Was ist die Komplexität der Berechnung von für ein gegebenes ?G C r ( G ) $C_r(G)$$G$$C_r(G)$$G$

Ich glaube, ich habe einmal eine Präsentation gesehen, in der behauptet wird, könne ohne Beweis in berechnet werden . Dies würde bedeuten, dass es so einfach ist, einen Cliquenbaum von berechnen . Gibt es eine Referenz, die dies bestätigt oder einen langsameren Algorithmus für die Berechnung angibt?O ( m + n ) $C_r(G)$$O(m+n)$$G$

Die Komplexität ist O (nm) ... Berechnen Sie aus G die maximalen Cliquen und machen Sie sie zu Eckpunkten in Ihrem Diagramm H (anfangs ohne Kanten) ... berechnen Sie dann alle minimalen Trennzeichen und ordnen Sie sie nach Größe ... wählen Sie das größte Trennzeichen S und mache zwei beliebige Cliquen C, C 'nebeneinander in H (verbinde sie durch eine Kante mit der Bezeichnung S), wenn C, C' beide S enthalten und sich in verschiedenen verbundenen Komponenten von H befinden (anfangs ist dies natürlich immer wahr, kann aber sein nicht später sein) ... dann wähle den nächstgrößeren Separator und mache dasselbe ... wiederhole, bis alle Separatoren verarbeitet sind ... der resultierende Graph H ist der reduzierte Clique-Graph von G ... die Berechnung maximaler Cliquen und minimaler Separatoren nimmt O. (n + m) ... es gibt O (n) Cliquen und O (n) Separatoren ... der Rest der Konstruktion ist O (nm), da die Verarbeitung jedes Separators O (m) Zeit in Anspruch nehmen kann ... .. .Dies kann nicht unter O (n ^ 2) verbessert werden, es sei denn, Sie können das folgende Problem lösen: Wenn ein Graph G gegeben ist, finden Sie zwei Eckpunkte u, v, so dass N (u) N (v) enthält ... letzteres ist nicht bekannt O (n + m) -Lösung ... ... es ist daher unwahrscheinlich, dass ein O (n + m) -Algorithmus zur Berechnung reduzierter Cliquengraphen möglich ist ...

siehe Abschnitt 5 in M. Habib, J. Stacho: Polynom-Zeit-Algorithmus für die Blattbildung von Akkordgraphen, In: Algorithms - ESA 2009, Lecture Notes in Computer Science 5757/2009, S. 290-300. ( http://www.cs.toronto.edu/~stacho/public/leafage-esa1.pdf )