Warum sollte die Breitensuche in der Zeit

Es wird oft gesagt (zB in Wikipedia ) , dass die Laufzeit der Breitensuche (BFS) auf einem Graph $G=(V,E)$ ist $O(|V|+|E|)$ . Jeder verbundene Graph hat jedoch $|V|\leq |E|+1$ und selbst in einem nicht verbundenen Diagramm betrachtet BFS niemals einen Scheitelpunkt außerhalb der Komponente, die den Startscheitelpunkt enthält. Diese Komponente enthält höchstens $|E|$ Kanten, so enthält es höchstens $|E|+1$ Eckpunkte, und dies sind die einzigen, die der Algorithmus besuchen wird.

Dies bedeutet, dass $|V|+|E|\leq 2|E|+1$ , warum sagen wir nicht, dass die Laufzeit nur $O(|E|)$ ?

_{Dies kam in Kommentaren zu einer Frage zur Laufzeit des Disjkstra-Algorithmus zum Ausdruck .}

BFS wird normalerweise wie folgt beschrieben (aus Wikipedia ).

 1  procedure BFS(G,start_v):
 2      let Q be a queue
 3      label start_v as discovered
 4      Q.enqueue(start_v)
 5      while Q is not empty
 6          v = Q.dequeue()
 7          if v is the goal:
 8              return v
 9          for all edges from v to w in G.adjacentEdges(v) do
10             if w is not labeled as discovered:
11                 label w as discovered
12                 w.parent = v
13                 Q.enqueue(w)

Das Problem ist etwas subtil: Es versteckt sich in Zeile 3! Die Frage ist, welche Datenstruktur werden wir verwenden, um zu speichern, welche Eckpunkte entdeckt wurden?

false$\Theta(|V|)$$|V|$$|E|$$O(|V|+|E|)$

$\Theta(|V|)$$O(|V|\,|E|)$$O(|E|^2)$$|V|^4$$|V|\,|E|\leq |V|^3$

$O(\log|V|)$$O(|E|\log|V|)$

$c$$|E|+1$$c + 2c + 4c + \dots + 2|E|\leq 4|E|$ $O(1)$$O(|E|)$

$O(|E|)$$4|E|$$O(|E|)$$O(|V|+|E|)$