Gegeben sei ein ebener Graph und G bezeichne seine Einbettung in die Ebene st, wobei jede Kante die Länge 1 hat . Ich habe außerdem eine Menge C von Punkten, bei denen jeder Punkt c ∈ C in G enthalten ist . Weiterhin gilt für jeden Punkt p in G, dass es ein c ∈ C mit höchstens einem geodätischen Abstand zu p gibt . (Die Entfernung wird als kürzeste Entfernung innerhalb von G gemessen .)
Ich möchte argumentieren, dass ich ein gegebenes für das die obige Bedingung gilt, leicht in eine Scheitelpunktabdeckung umwandeln oder anders ausgedrückt in ein C ' gleicher Kardinalität umwandeln kann , wenn jedes c ∈ C ' in G an a gesetzt wird Eckpunkt G , und C ' umfasst noch G .
Mein Ansatz bestand darin, die Kanten auszurichten und die Punkte in am Endscheitelpunkt des Bogens zu verschieben. Bisher habe ich jedoch keine korrekte Orientierung gefunden, die C ' aus C ergibt .
Hat jemand eine Idee?
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Antworten:
Wenn keine Punkte in genau auf dem Mittelpunkt einer Kante in G liegen , reicht es aus, jeden Punkt in C dem nächsten Scheitelpunkt in G zuzuordnen . Ich überlasse es dem Leser als Übung, dies zu beweisen (Hinweis: durch Widerspruch beweisen).C G C G
Wenn andererseits Punkte in auf der Mitte der Kanten liegen dürfen, können wir ein Gegenbeispiel liefern:C
Die blauen Linien und Kreise sind und die roten Kreuze sind C .G C
EDITIERT ZUM HINZUFÜGEN: Ein Beispiel mit einem zweifach verbundenen Diagramm
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