Dies ist NP-vollständig. Tatsächlich bleibt es NP-vollständig, wenn auf 3-CNF-Form (nicht nur CNF) beschränkt ist.F.+
Der Beweis besteht darin, zu zeigen, dass dieses Problem mindestens so schwierig ist wie das Testen der 3-Färbbarkeit eines Diagramms. Die Korrespondenz ist sauber und elegant. Sei ein ungerichteter Graph. Führen Sie die Variablen für und , um eine Dreifarbigkeit des Diagramms darzustellen. Hier bedeutet , dass wir dem Scheitelpunkt die Farbe .G = ( V., E.)xv , cv ∈ V.c ∈ { 1 , 2 , 3 }xv , cvc
Um darzustellen, dass jeder Scheitelpunkt mindestens eine Farbe erhalten muss, werden wir für jeden Scheitelpunkt Klauseln einführen . Dies gibt uns , dhxv , 1∨xv , 2∨xv , 3vF.+
F.+≡⋀v ∈ V.(xv , 1∨xv , 2∨xv , 3) .
Um darzustellen, dass keine zwei Endpunkte einer einzelnen Kante dieselbe Farbe erhalten dürfen, führen wir für jede Kante eine Klausel . Und um darzustellen, dass kein Scheitelpunkt mehr als eine Farbe erhalten darf, werden wir für jedes eine Klausel einführen. so dass Es sei die entsprechende Formel.¬xu , c∨ ¬xv , c( u , v ) ∈ E.¬xv , c∨ ¬xv ,c'c ,c'∈ { 1 , 2 , 3 }c ≠c'.F.- -2
F.- -2≡⋀( u , v ) ∈ E.( ¬xu , c∨ ¬xv , c)∧⋀v ∈ V., c ≠c'( ¬xv , c∨ ¬xv ,c') .
Dann ist leicht zu erkennen, dass genau dann erfüllbar ist, wenn eine 3-Färbung hat. Tatsächlich entspricht jede zufriedenstellende Zuordnung von sofort einer 3-Färbung von und umgekehrt. Daher ist das Testen der Erfüllbarkeit dieser Klasse von Formeln mindestens so schwierig wie das Testen der 3-Färbbarkeit eines ungerichteten Graphen, daher ist es NP-hart.F.+∧F.- -2GF.+∧F.- -2G