Äquivalenz von unabhängigem Satz und Satzpackung

Laut Wikipedia ist das Independent Set- Problem ein Sonderfall des Set Packing- Problems. Aber es scheint mir, dass diese Probleme gleichwertig sind.

Das Suchproblem der unabhängigen Menge ist: Wenn ein Graph und eine ganze Zahl , finden Sie Eckpunkte, von denen keine zwei benachbart sind.n $G(V,E)$$n$$n$

Das Suchproblem beim Packen von Mengen lautet: Wenn eine endliche Sammlung endlicher Mengen und eine ganze Zahl , finden Sie Mengen, die paarweise disjunkt sind.n $C$$n$$n$

Ich denke, sie sind äquivalent, basierend auf der folgenden bidirektionalen Reduktion:

→: Erstellen Sie bei einem unabhängigen einem Graphen eine Sammlung von von Mengen, wobei für jeden Scheitelpunkt eine Menge die alle Kanten neben . Nun entspricht jede Mengenpackung in einer Menge von Eckpunkten, von denen keine zwei eine gemeinsame Kante haben, dh dies ist eine unabhängige Menge in derselben Größe.C v ≤ V S v ≤ C v C $G(V,E)$$C$$v \in V$$S_v \in C$$v$$C$$G$

←: Erstellen Sie bei einem einer Sammlung einen Graphen in dem für jede Menge ein Scheitelpunkt und eine Kante zwischen und wenn sich die Mengen und schneiden. Nun entspricht jede unabhängige Scheitelpunktmenge in einer Menge von Mengen aus von denen sich keine zwei schneiden, dh dies ist eine Mengenpackung in derselben Größe.G ( V , E ) S ∈ C v S ∈ V v S 1 v S 2 S 1 S 2 G C $C$$G(V,E)$$S \in C$$v_S \in V$$v_{S_1}$$v_{S_2}$$S_1$$S_2$$G$$C$$C$

Meine Frage ist: Ist meine Reduktion korrekt? Wenn ja, sind diese Probleme gleichwertig? Ist es möglich, Approximationsalgorithmen für ein Problem für das andere Problem zu verwenden?

Die genaue Bedeutung von "Äquivalent" ist nicht offensichtlich, aber Sie haben etwas gezeigt, das tiefer liegt als die normale Äquivalenz unter Reduktionen, die für NP-vollständige Probleme in Betracht gezogen werden.

Sie haben gezeigt, was als sparsame Reduzierung zwischen den beiden Problemen bekannt ist. Normalerweise sind Reduzierungen zwischen NP-vollständigen Problemen viele Reduktionen: Sie haben nur die Eigenschaft, dass Problem A eine Lösung hat, wenn und nur wenn Problem B eine Lösung hat. Wenn Sie beispielsweise 3SAT auf 3-Färbbarkeit reduzieren, erzeugen Sie einen Graphen  , der 3-färbbar ist, wenn und nur wenn die ursprüngliche Formel erfüllt werden kann  . Wenn  jedoch  Variablen hat, kann die Anzahl der erfüllenden Zuweisungen zwischen null und  einschließlich liegen, wohingegen die Anzahl der 3-Farben eines Graphen aufgrund der Permutationen des Farbsatzes ein Vielfaches von sechs ist.φ φ N 2 $G$$\varphi$$\varphi$$N$$2^N$

Der Punkt über sparsame Reduzierungen ist, dass sie eins zu eins sind. Ihre Reduktion führt zu einer Bijektion zwischen Lösungen des unabhängigen Mengenproblems und Lösungen des entsprechenden Mengenverpackungsproblems. Sparsame Reduzierungen sind nützlich, da sie Optimierungs- und (ungefähre) Zählversionen des Problems beibehalten. Ihre Reduzierung zeigt also auch, dass das Problem, den größten unabhängigen Satz zu finden, genauso schwierig ist wie das Finden der Satzpackung mit den meisten Sätzen, und dass das Problem, alle unabhängigen Sätze zu zählen, genauso schwierig ist wie das Zählen aller Satzpackungen.

Es gibt eine breitere Klasse von Reduzierungen, bei denen auch das Zählen und das ungefähre Zählen erhalten bleiben. Dies sind die approximationserhaltenden Reduktionen von Dyer et al.  [1]. Dies sind Orakelreduktionen und lockern das Eins-zu-Eins-Erfordernis sparsamer Reduktionen auf das, was im Wesentlichen lautet: "Wenn Sie das eine kennen (eine Annäherung an das eine), können Sie das andere leicht berechnen (eine Annäherung an das andere)." Insbesondere können AP-Reduktionen leicht mit dem Faktor umgehen Dies ist mit jeder Reduzierung des Farbproblems verbunden. Wie der Name schon sagt, behalten AP-Reduzierungen die Annäherbarkeit bei , in dem Sinne, dass wenn es eine AP-Reduktion von A nach B gibt und es ein FPRAS für B gibt, es auch ein FPRAS für A gibt.$q!$$q$

[1] Färber, Goldberg, Greenhill, Jerrum. Die relative Komplexität von ungefähren Zählproblemen. Algorithmica 38 (3): 471–500, 2003. DOI ; kostenloses PDF

Beide Probleme sind NP-vollständig. Selbst ohne Überprüfung Ihrer Reduzierungen sind sie in diesem Sinne gleichwertig.

Ihre Reduzierung scheint jedoch in Ordnung zu sein. Technisch gesehen möchten Sie für Approximationsergebnisse einige zusätzliche Eigenschaften der Reduktion überprüfen (nicht unbedingt schwierig, z. B. in diesem Fall sind PTAS-Reduktionen von Interesse). Sie müssen auch über die Optimierungsversionen der Probleme sprechen und nicht über die Entscheidungsversionen (dh nach der Max / Min-Antwort fragen, anstatt nach einer bestimmten Größe oder mehr / weniger).

$|V|^{1-\varepsilon}$$\varepsilon > 0$

Wenn Sie sich eingeschränkte Klassen von Diagrammen ansehen, finden Sie möglicherweise etwas Interessantes. Zur weiteren Lektüre verweise ich Sie auf das unschätzbar nützliche Kompendium von Viggo Kann:

1. Max Set Packing
2. Max unabhängiges Set
3. Max Clique