Wenn ein Punkt ein Scheitelpunkt einer konvexen Hülle ist

Die Übung ist

Gegeben eine Reihe von Punkten $S$ und ein Punkt $p$. Entscheide dich in$O(n)$ Zeit wenn $p$ ist ein Scheitelpunkt eines konvexen Polygons, der aus Punkten von gebildet wird $S$.

Das Problem ist, dass ich ein bisschen verwirrt bin mit der zeitlichen Komplexität $O(n)$. Die naivere Lösung wäre, ein konvexes Polygon in zu konstruieren$O(n\log n)$ und testen Sie ob $p$ ist einer der Eckpunkte.

Hinweis: der Punkt $p$ ist ein Scheitelpunkt der konvexen Halle, wenn zwei halbe Linien davon vorhanden sind, so dass alle Punkte in den von ihnen erzeugten Winkel fallen.

Hier ist eine Idee für einen Algorithmus, der auf diesem Hinweis basiert:

Entwerfen Sie einen Algorithmus mit zwei Variablen $q$ und $r$(Eingabepunkte). Der Algorithmus überprüft jeden der Eingabepunkte und wird aktualisiert$q$ und $r$ so dass alle bisher geprüften Punkte in den Keil fallen $\angle qpr$.

Das Problem besteht darin, eine Linie zu finden, die durchgeht $p$ und hat alle anderen Punkte in $S$Auf der einen Seite. Dies ist ein zweidimensionales lineares Programmierproblem, das gelöst werden kann$O(n)$Zeit mit Lehrbuch geometrischen Algorithmen . Aber lassen Sie mich eine in sich geschlossene Lösung beschreiben.

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Um die Notation zu vereinfachen, übersetzen Sie alle Punkte so $p$ ist der Ursprung $(0,0)$, und lass $Q = S\setminus\{p\}$. Dann wollen wir feststellen, ob es eine reelle Zahl gibt$m$ so dass entweder (1) $y < mx$ für alle $(x,y)\in Q$ oder (2) $y > mx$ für alle $(x,y)\in Q$. Im ersten Fall,$p$ ist ein Scheitelpunkt des oberen Rumpfes von $S$;; im zweiten Fall$p$ ist ein Scheitelpunkt des unteren Rumpfes von $S$. Ich werde einen Algorithmus für den ersten Fall beschreiben; Der andere Fall ist symmetrisch.

Wenn irgendein Punkt in $Q$ liegt direkt darüber $p$ (das heißt, wenn irgendein Punkt in $Q$ hat Koordinaten $(0,y)$ für einige $y>0$), dann $p$kann nicht auf dem oberen Rumpf liegen. Es ist einfach, diesen Zustand einzuchecken$O(n)$ Zeit.

Nehmen Sie also keine Punkte an $Q$ liegen direkt darüber $p$. Das$y$-Achsen spaltet sich $Q$ in zwei Teilmengen $L$ (links) und $R$(Recht). Punkte in$L$ negativ haben $x$-Koordinaten und Punkte in $R$ hat positiv $x$-Koordinaten. (Punkte direkt darunter$p$egal; ignoriere sie einfach.) Lass

$$m_L = \min_{(x,y)\in L} \frac{y}{x}, \quad M_R = \max_{(x,y)\in R} \frac{y}{x}, \quad \text{and} \quad m = \frac{m_L + M_R}{2}.$$ Nun sind drei Fälle zu berücksichtigen:

• Wenn $m_L < M_R$, dann jeder Punkt in $Q$ liegt streng unter der Linie $y = mx$, damit $p$ ist ein Scheitelpunkt des oberen Rumpfes.

• Wenn $m_L = M_R$, dann die Linie $y=mx$ geht durch einen Punkt in $L$ und ein Punkt in $R$und kein Punkt in $Q$ist streng über dieser Linie. Damit$p$ liegt an einer Kante des oberen Rumpfes, ist aber kein Scheitelpunkt.

• Wenn $m_L > M_R$, dann mindestens einen Punkt in $L$ und mindestens einen Punkt in $R$ liegen streng über der Linie $y=mx$. Damit$p$ liegt streng unter dem oberen Rumpf.

Es ist leicht zu berechnen $m_L$ und $M_R$ im $O(n)$Zeit. Wir müssen eigentlich nicht rechnen$m$.