Es ist bekannt, dass jede Boolesche Funktion unter Verwendung einer Booleschen Schaltung der Tiefe 2 (über die Variablen, ihre Negation und konstanten Werte) realisiert werden kann. Enthält UND-Gatter in der ersten Ebene und ein einzelnes ODER-Gatter in der oberen Ebene; Dies ist einfach die DNF-Darstellung von .f
Ein anderer der für die Schaltungskomplexität von großem Interesse ist, ist das Gatter. Die übliche Definition lautet wie folgt:
Diese Tore haben manchmal überraschende Kraft; Zum Beispiel kann jede boolesche Funktion durch eine Tiefen-2-Schaltung mit nur Gattern dargestellt werden (dies ist Folklore, aber ich kann näher darauf eingehen, wenn jemand interessiert ist).
Eine andere Folklore ist jedoch, dass Schaltungen mit einem einzelnen ODER-Gatter an der oberen und Gattern in der unteren Schicht (wobei ein für alle Mal festgelegt ist und insbesondere für alle Gatter gleich ist) nicht universal, dh für jeden Wert von gibt es boolesche Funktionen, die nicht von \ mathrm {OR} \ circ \ mathrm {MOD} _m berechnet werden können.
Ich suche einen Beweis für diese Behauptung oder zumindest eine Richtung.
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Antworten:
Die Boolesche AND-Funktion kann nicht berechnet werden. Angenommen, die UND-Funktion wird tatsächlich von einer -Schaltung berechnet . Daraus folgt, dass eine der MOD-Teilschaltungen dann bereits UND-Funktion berechnen muss, was unmöglich ist.OR∘MOD
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