Dies hat Müller bereits 1956 bewiesen . Hier ist die Konstruktion. Sei ein Parameter. Wir berechnen zunächst alle möglichen Funktionen an den ersten Eingängen in Größe (siehe unten). Wir konstruieren dann einen Entscheidungsbaum für die anderen Variablen und verbinden ihn mit der richtigen Funktion für die verbleibenden Variablen. Dies dauert (siehe unten) für insgesamt . Wenn wir wählen, erhalten wir die gewünschte Grenze.kkO(22k)n−kO(2n−k)O(22k)+O(2n−k)k=log(n−logn)
Wir berechnen alle möglichen Funktionen an Eingängen induktiv. Sei die Größe einer Schaltung, die alle möglichen Funktionen an Eingängen berechnet . Es gibt zwei Funktionen für Null-Eingänge, also ist . Jede Funktion an Eingängen kann als , also . Die Lösung dieser Wiederholung ist .kZkkZ0=2f(x1,…,xk)kxkf(x1,…,xk−1,1)+xk¯¯¯¯¯f(x1,…,xk−1,0)Zk=Zk−1+22k⋅O(1)Zk=O(22k)
Um den Entscheidungsbaum zu berechnen, verwenden wir eine ähnliche Konstruktion: Wenn ein Baum für die ersten Variablen gegeben ist, können wir einen Baum für die ersten Variablen der Form konstruieren . Die Wiederholung, die wir erhalten, ist , dessen Lösung .Tk−1kxkT+xk¯¯¯¯¯TWk=2Wk−1+O(1)Wk=O(2k)