Ich versuche gerade, eine reguläre Sprache zu beweisen (zur persönlichen Unterhaltung). Die Sprache ist:
Die Sprache, die alle ternären Zahlen enthält, die bei binärer Codierung sogar Bitparität aufweisen.
Derzeit habe ich einige verschiedene Ansätze ausprobiert, die mich zu keinem Erfolg geführt haben. Ich habe versucht, das Pump-Lemma (konnte nichts zum Pumpen finden), Myhill-Nerode (ähnlich) zu verwenden, und habe sogar die Anzahl der Zeichenfolgen jeder Länge gezählt, für die die Aussage wahr ist (meine Intuition ist, dass sie überprüft wird) ein probabilistisches Argument).
Gibt es andere Ansätze, die hier helfen könnten, oder gibt es Intuitionen, die hilfreich sein könnten? An diesem Punkt ist meine beste Vermutung, dass die Sprache nicht regelmäßig ist, aber ich scheine nicht in der Lage zu sein, eine Erklärung zu finden.
Antworten:
Dies kann bewiesen werden, aber Sie benötigen einige nicht triviale Werkzeuge, um dies zu tun.
Beginnen Sie mit der Menge S = {0,3,5,6, ...} nicht negativer Ganzzahlen mit einer geraden Anzahl von Einsen in ihrer Basis-2-Erweiterung.
Es ist bekannt, dass dieses Set "2-automatisch" ist; das heißt, es gibt einen endlichen Automaten, der genau die Basis-2-Erweiterungen von Elementen von S akzeptiert. Außerdem ist bekannt, dass diese Menge letztendlich nicht periodisch ist (das heißt, es ist nicht wahr, dass es eine Periode P gibt, so dass Wenn nach einem Punkt C x> = C in S ist, ist x + P). (Wenn es so wäre, wäre das zugehörige Thue-Morse-Wort 01101001 ... letztendlich periodisch, aber es ist aus Thues Papier von 1912 bekannt, dass es keinen Block enthält, der dreimal hintereinander wiederholt wird.)
Als nächstes sei angenommen, dass S tatsächlich "3-automatisch" ist; Das heißt, es gibt einen Automaten, der genau die Basis-3-Erweiterungen von Elementen von S akzeptiert. Nach einem klassischen Satz von Cobham (Math. Systems. Theory 3 (1969) 186-192) würde dies bedeuten, dass S letztendlich periodisch ist wir haben schon gesehen, dass es nicht so ist.
Mehr über diese Ideen finden Sie in meinem Buch mit Allouche, "Automatic Sequences". Achtung, unser Beweis für Cobham ist etwas fehlerhaft, und eine korrigierte Version von Rigo finden Sie online hier: http://arxiv.org/abs/0907.0624 .
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