Gibt es eine Hoffnung, einen Computer zu verwenden, um kombinatorische Formeln für eine Folge von ganzzahligen Werten unter Berücksichtigung einiger Anfangsbegriffe zu erraten?

In der Kombinatorik berechnen Sie manchmal die Anzahl von etwas, das von einem natürlichen Zahlenparameter abhängt . Entweder von Hand oder mit einem Computer können Sie häufig einige Anfangsbegriffe in der Sequenz berechnen$a_n$$n$$(a_n)_n$. Jetzt können Sie diese Anfangsbegriffe in die Online-Enzyklopädie der ganzzahligen Sequenzen eingeben. Wenn Sie Glück haben, können Sie eine Übereinstimmung mit einer Formel und Informationen erhalten, mit denen Sie nachweisen können, dass Ihre Sequenz dieser Formel entspricht. Was aber, wenn Ihre genaue Sequenz nicht dokumentiert ist, aber in direktem Zusammenhang mit einer bekannten Sequenz steht? Zum Beispiel, wenn Ihre Sequenz doppelt oder das Quadrat einer anderen bekannten Sequenz ist? Oder ob Ihre Sequenz entweder direkt oder als Summation mit hypergeometrischen Begriffen ausgedrückt werden kann? Wenn ein Computer Formeln für eine Sequenz mit bestimmten Anfangsbegriffen vorschlagen könnte, könnte dies dem Mathematiker immens helfen, denn wenn er sich schließlich die richtige Formel ansieht, wird ihm möglicherweise klar, warum die Formel basierend auf der Struktur des Problems und der Formel. Hat es Fortschritte gegeben, Computer "erraten" zu lassen?

Eine genaue Lösung dieses Problems ist natürlich unmöglich (zum Beispiel ist die Folge von ungeraden ganzen Zahlen oder von Primzahlen?), Aber es gibt Möglichkeiten, Antworten zu erhalten, wenn die Folge nicht in oeis ist, sondern mit einigen "verwandt" ist Reihenfolge in der Datenbank.$3,5,7$

Eine Möglichkeit, dies zu tun, ist die Verwendung von Superseeker . Grundsätzlich senden Sie die Sequenz, die Sie erhalten haben, an [email protected], und dann versucht der Server einige Algorithmen, um eine Beziehung zwischen Ihrer Sequenz und denen in oeis zu finden.

Daher ist es ein guter Anfang zu überprüfen, welche Art von Tests / Algorithmen von Superseeker verwendet werden (iirc gibt es irgendwo auf der Website eine Beschreibung dazu)

Dies ist tatsächlich in einer relativ neuen mathematischen Funktion namens FindSequenceFunction implementiert und in einfachen Fällen erfolgreich. Es kann als Vorbild und nahezu Stand der Technik in der Region angesehen werden.

Das allgemeine Problem ist jedoch sehr übergreifend und berührt viele Bereiche / Techniken wie maschinelles Lernen , automatisierte Theoremprüfung , mathematische Induktion und Kolmogorov-Komplexität (wobei die sehr ähnliche Problemlösung auf dem "Finden des kleinsten TM, das eine Sequenz erzeugt" basiert). und sogar als "Problem der Induktion" in die Philosophie übergehen . Alle diese Bereiche haben aktive Forschung in diesem Bereich. Es zeigt sich auch in Kurvenanpassung und Statistik / Big Data, aber dort sind die Sequenzen näherungsweise, obwohl im Allgemeinen dieselben abstrakten Prinzipien gelten.

Das allgemeine Problem ist nicht entscheidbar, aber es ist auch nicht genau richtig, es als "unentscheidbar" zu bezeichnen. Es unterliegt immer "falsch positiven" (Sequenzen, die mit der begrenzten Anzahl von Eingaben übereinstimmen, aber nicht weiter) und "falsch negativen" (Sequenzen, die Formeln haben, aber nicht durch "the" oder einen beliebigen Algorithmus erkennbar sind ). Man kann mit Sicherheit sagen, dass die Forschung auf diesem Gebiet noch Jahrzehnte in der Zukunft andauern wird, und zwar wahrscheinlich, solange es mathematische Forschungen gibt, die von Menschen durchgeführt werden.