Sind dies gültige Gegenbeispiele zu Proofs für CF-Sprachen mit Nicht-CF-Ergänzungen?

Jemand fragte nach Beispielen für kontextfreie Sprachen mit nicht kontextfreien Ergänzungen .

Die erste Antwort lautet:

Die Sprache $L_1= \{ww \mid w \in \{a,b\}^*\}$ist nicht kontextfrei (wie mit dem Pump-Lemma gezeigt werden kann; siehe hier ). Seine Ergänzung$L_2 = \{a,b\}^* \setminus L_1$ist kontextfrei (wie hier gezeigt ).

Vielleicht ist dies in Wirklichkeit wahr, aber angesichts der obigen Informationen bin ich nicht davon überzeugt, dass dies ein gültiges Beispiel für eine solche Sprache ist. Das habe ich schon mal bewiesen$L$ist nicht CF, also habe ich kein Problem damit, das zu akzeptieren. Die CFG und der Nachweis sind jedoch gegeben$L_2$sind falsch. Ich kann ein wirklich einfaches Gegenbeispiel geben: wenn die Zeichenfolge$s=aaabaa$. Deutlich$s \in L_2$ weil es nicht von der Form ist $ww$. Jedoch,$s$ kann nicht mit dem für beschriebenen CFG konstruiert werden $L_2$.

Beweis: Die Zeichenfolge $s$ ist nicht von der Form $A$ oder $B$da die Länge der Zeichenfolge gerade ist. Daher muss es von der Form sein$AB$ oder $BA$Dies ist jedoch unmöglich, da beide Hälften der Zeichenfolge den gleichen Charakter haben ($a$) Im Zentrum. Deshalb$s \notin L_2$, was ein Widerspruch ist.

Die zweite Antwort lautet:

Das Beispiel, das Sie auf Wikipedia sehen: put $A=\{a^n b^n c^m\}$, $B=\{a^m b^n c^n\}$. Es ist leicht zu sehen$\overline{A}$ und $\overline{B}$sind kontextfrei, indem ein PDA definiert wird; Sie können feststellen, dass es sich um deterministische kontextfreie Sprachen handelt, bei denen es sich um eine Klasse handelt, die unter Komplement geschlossen wird. Deshalb$\overline{A} \cup \overline{B}$ ist eine kontextfreie Sprache mit einer nicht kontextfreien Ergänzung $A \cap B=\{a^n b^n c^n\}$.

Dieser ist noch leichter zu widerlegen. Sicher, deterministische kontextfreie Sprachen werden unter Komplement geschlossen, aber sie werden nicht unter Vereinigung geschlossen. Daher die Sprache$\overline{A} \cup \overline{B}$ ist nicht unbedingt kontextfrei.

Ich nehme derzeit noch Theory of Computing, also habe ich vielleicht etwas falsch gemacht oder eine offensichtliche Wahrheit übersehen. Kann jemand meine Behauptungen widerlegen? Wenn nicht, können Sie ein gültiges Beispiel für eine CF-Sprache mit einem Nicht-CF-Komplement angeben?

Für die erste Frage $aaabaa$ wird durch die Grammatik erzeugt:

$$\begin{align*} S&\to AB \\ &\to aB &&\text{using }A\to a\\ &\to aaBa &&\text{using }B\to aBa\\ &\to aaaBaa &&\text{using }B\to aBa\\ &\to aaabaa &&\text{using }B\to b\,. \end{align*}$$ Ihr Versuch, das Gegenteil zu beweisen, ist falsch, da Sie davon ausgehen, dass, wenn die Zeichenfolge als geteilt wird $AB$, der von $A$ muss die gleiche Länge haben wie das von erzeugte Teil $B$. Wie die obige Ableitung zeigt, ist dies nicht wahr.

Zum zweiten haben Sie Recht, dass die Klasse der deterministischen CFLs unter Union nicht geschlossen ist. Die Klasse der CFLs ist jedoch unter Gewerkschaft geschlossen. Das heißt, die Vereinigung zweier DCFLs ist nicht unbedingt eine DCFL, aber es ist definitiv eine CFL. Das Argument "$\overline{A}$ und $\overline{B}$ sind deterministisch kontextfrei, also kontextfrei, also $\overline{A}\cup\overline{B}$ ist kontextfrei "ist in dem von Ihnen zitierten Beweis enthalten.