Wie kann ich zeigen, dass der Cook-Levin-Satz nicht relativiert?

Das Folgende ist eine Übung, an der ich festhalte (Quelle: Sanjeev Arora und Boaz Barak; es sind keine Hausaufgaben):

Zeigen Sie, dass es ein Orakel gibt $A$und eine Sprache so dass nicht auf 3SAT polynomialzeitreduzierbar ist, selbst wenn der Maschine, die die Reduktion berechnet, Zugriff gewährt wird$L \in NP^A$$L$$A$ .

Was ich versuchte, war, als das Orakel zu nehmen , um das Problem zu stoppen, und . Mit dieser Zuordnung stelle ich sicher, dass und nicht auf 3SAT polynomreduzierbar sind, wenn der Maschine, die die Reduktion durchführt, kein Orakel zur Verfügung gestellt wird. Obwohl ich zum Zuordnen einer Instanz Zeichenfolgen durchsuchen müsste, selbst wenn der Reduktionsmaschine ein Orakel zur Verfügung gestellt wird. Dies scheint jedoch in diesem Fall kein Beweis für das Fehlen einer Polynomreduktion zu sein.$A$$L=\{1^n | \;\exists \; \langle M,w \rangle \; \text{s.t.} \; |\langle M,w \rangle|=n \; \text{ and Turing machine M halts on w} \}$

$L \in NP^{A}$$L$$1^n$$2^n$

Gibt es eine Möglichkeit, dies anhand des gleichen Beispiels zu beweisen? Gibt es ein einfacheres Beispiel?

Bitte beziehen Sie sich auf Relativiert der Cook-Levin-Satz? .

Siehe auch Arora, Implagiazo und Vazirani Papier: Relativierung gegen Nonrelativizing Techniken: Die Rolle der lokalen Überprüfbarkeit .

In der Arbeit von Baker, Gill und Solovay (BGS) über Relativierungen des P =? NP-Frage (SIAM Journal on Computing, 4 (4): 431–442, Dezember 1975) geben sie eine Sprache$B$ und $U_B$ so dass $U_B \in NP^B$ und $U_B \not\in P^B$und beweist damit, dass es Orakel gibt $B$ für welche $P^B \neq NP^B$.

Wir werden das ändern $U_B$ und $B$ zu $U_{B'}$ und $B'$ so dass wir eine neue Sprache erhalten, die nicht auf 3SAT reduziert werden kann, selbst wenn verfügbar ist $B'$ als Orakel.

Nehmen wir zunächst an, wir können jeden auffüllen $3SAT$ Boolesche Instanz $\phi$ zu $\phi'$ mit einigen zusätzlichen Dummy-3CNF-Ausdrücken, so dass $|\phi'|$ ist seltsam und sie sind gleichwertig, dh $\phi$ ist erfüllbar wenn $\phi'$ist zufriedenstellend. Wir können es schaffen$n+O(1)$ Zeit und mit $O(1)$ Auffüllen, aber selbst wenn es Polynomzeit und zusätzliches Polynomauffüllen benötigt, spielt es keine Rolle.

Jetzt müssen wir das kombinieren $B$ und $3SAT$ zu $B'$ irgendwie so, dass der BGS-Satz immer noch gilt, aber zusätzlich $3SAT \in P^{B'}$. Also machen wir so etwas wie das Folgende.

$U_{B'} = \{1^n \ \ |\ \ \exists x \in B,$ so dass $|x| = 1^{2n}\}$ und

$B' = B'_{constructed} \ \cup \{\phi \ \ |\ \ \phi \in 3SAT$ und $|\phi|$ ist ungerade $\}$.

Jetzt werden wir konstruieren $B'_{constructed}$ nach dem Satz so, dass wenn die deterministische Maschine $M_i^{B'}$ zur Eingabe $1^n$ ($n$ wird wie im Satz bestimmt) fragt das Orakel $B'$ Eine Abfrage von ungerader Länge prüfen wir, ob sie vorhanden ist $3SAT$und antworte richtig, aber wenn es eine Abfrage von gleicher Länge fragt, gehen wir gemäß der Konstruktion vor, das heißt, wir antworten richtig, wenn es bereits in der Tabelle ist, andernfalls antworten wir jedes Mal mit Nein. Dann laufen wir da für$1^n$ Wir drehen die Antworten um $2n$ Länge so dass $M_i^{B'}$ entscheidet nicht $U_{B'}$.

Wir können dies ähnlich wie im BGS-Theorem beweisen $B'$ und $U_{B'}$ auch haben wir $U_{B'} \in NP^{B'}$ und $U_{B'} \not\in P^{B'}$.

$U_{B'} \in NP^{B'}$ist leicht zu beweisen. Wir konstruieren eine nicht deterministische Turingmaschine, die zur Eingabe dient$1^n$ Erstellt nicht deterministische Zweige, für die ausgeführt wird $2n$ Schritte, um eine andere zu generieren $2n$-Länge String und fragt dann Orakel $B'$ wenn die $2n$-Länge Zeichenfolge ist in $B'$und wenn die Antwort ja ist, akzeptiert sie $1^n$ sonst lehnt es ab $1^n$. Diese Konstruktion zeigt das$U_{B'} \in NP^{B'}$.

$U_{B'} \not\in P^{B'}$kann mit Hilfe des Diagonalisierungsarguments bewiesen werden. Grundsätzlich unterscheidet es sich von jedem$L(M_i^{B'})$ für jede Orakel Turing Maschine, die haben $B'$als Orakel. Das liegt daran, wie wir konstruieren$B'_{constructed}$.

Nun werden wir im Widerspruch beweisen, dass es keine Reduktion von gibt $U_{B'}$ zu $3SAT$ auch mit der Verfügbarkeit von Orakel $B'$.

Angenommen, es gibt eine Reduzierung mit Orakel $B'$dh $U_{B'} \leq^{B'}_P 3SAT$.

Das heißt, wir können eine Zeichenfolge des Formulars reduzieren $1^n$ zu einer 3SAT-Instanz $\phi$ unter Verwendung einer deterministischen Polynom-Zeit-Maschine, die verwendet $B'$ als Orakel.

Wir können nun ein deterministisches TM beschreiben $M^{B'}$ welches Saiten entscheiden wird $U_{B'}$ in Polynomzeit mit $B'$als Orakel. Zuerst reduziert diese Maschine die Eingabe$1^n$ zu einer 3SAT-Instanz $\phi$ mit $B'$als Orakel. Dies kann getan werden, weil wir die oben genannte Reduzierung haben. Dann wenn$\phi$ ist keine ungerade Länge $M^{B'}$ wird es auffüllen zu machen $\phi'$Das ist ungerade Länge. Als nächstes wird es dies geben$\phi'$ zum Orakel $B'$und bekomme die Antwort ja / nein. Es wird akzeptiert, wenn die Antwort ja ist, und ablehnen, wenn die Antwort nein ist.

Diese Maschine ist deterministisch polynomisch und verwendet Orakel $B'$.

Damit haben wir das bewiesen $U_{B'} \in P^{B'}$ein Widerspruch .

Deshalb $U_{B'} \not\leq^{B'}_P 3SAT$.