Sei die Sprache aller 2- CNF-Formeln φ , so dass mindestens ( 1derφ-Klauseln können erfüllt sein.
Ich muss beweisen, dass es st L ϵ gibt, das für jedes ϵ < ϵ ' N P -hart ist .
Wir wissen, dass ungefähr 55 sein kann Präzent der Klauseln aus einerMax3Sat-Reduzierung. Wie soll ich dieses Problem lösen?
Wenn Sie wissen, dass ε eine rationale Zahl ist, brauchen Sie keine Unannäherbarkeit für Max-2-SAT, um Ihre Aussage zu beweisen. Ein typischer Beweis für die NP-Härte von Max-2-SAT (z. B. der im Lehrbuch Computational Complexity von Papadimitriou) belegt tatsächlich die NP-Vollständigkeit von L 1/5 . Um die NP-Härte zu beweisen L ε für eine positive rationale Zahlen ε <1/5, können wir reduzieren L 1/5 bis L ε wie folgt: Da eine 2CNF Formel φ (eine Instanz für L 1/5 ), lassen Sie m sein die Anzahl der darin enthaltenen Klauseln. Lass r unds sind positive ganze Zahlen, so dass (1 / 5− ε ) mr = 2 ε s gilt. Konstrukt dann eine 2CNF Formel (eine Instanz für L ε ) durch Wiederholen φ für r - mal und Hinzufügen s Paare von widersprechenden Klauseln. Eine einfache Berechnung zeigt, dass dies tatsächlich eine Verringerung von L 1/5 auf L ε ist .
Diese Reduktion funktioniert eindeutig nur, wenn ε rational ist, da sonst r und s nicht als ganze Zahlen genommen werden können. Der allgemeine Fall, in dem ε nicht unbedingt rational ist, scheint Unannäherbarkeit zu erfordern, wie Yuval Filmus in seiner Antwort schrieb.
quelle