Betrachten Sie die Folge . Es scheint auf eine Weise "regelmäßig" zu sein, die z. B. nicht ist.
Ich bin mir jedoch nicht sicher, wie ich diese Intuition formalisieren soll. Eine Sache, die mir auffällt, ist, dass eine reguläre Sprache ist und in gewissem Sinne die Grenze der Zeichenfolgen in dieser Sprache ist.s 1
Gibt es eine Terminologie für die Berücksichtigung dieser unendlichen Zeichenfolgen? Haben wir etwas Analoges zum Pump-Lemma, wobei wir sagen können, dass eine solche "unendliche reguläre" Zeichenfolge die Form mit , , endlich hat?x y z
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Xodarap
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Antworten:
Der wahrscheinlich spezifischste Begriff zur Beschreibung Ihrer ersten Zeichenfolge, ist periodisch . Ein String (endlich oder unendlich) periodisch , wenn es etwas ist , so dass für alle , . In diesem Beispiel können wir . Eine etwas schwächere Vorstellung ist, dass eine Zeichenfolge schließlich periodisch ist, wenn es und so dass für alle .x 1 x 2 … t i x i = x i + t t = 2 n t x i = x i + t i ≥ n010101… x1x2… t i xi=xi+t t=2 n t xi=xi+t i≥n
Im Allgemeinen gibt es jedoch ein direktes Analogon der regulären Sprachen, nämlich die regulären Sprachen . Diese werden durch natürliche Verallgemeinerungen endlicher Automaten erkannt. Die Zustandsmenge ist immer noch endlich, aber das Akzeptanzkriterium muss geändert werden, um mit unendlichen Wörtern umgehen zu können. Insbesondere können wir nicht einfach "Akzeptieren, wenn der Automat in einem akzeptierenden Zustand endet" sagen, da der Automat die Verarbeitung seiner unendlichen Eingabe nie beendet.ω
Die einfachste Klasse von Automaten für unendliche Wörter sind Büchi-Automaten . Sie sind genau wie die endlichen Automaten definiert, an die Sie gewöhnt sind, und sie akzeptieren ihre Eingabe, wenn mindestens ein akzeptierender Zustand während des Laufs des Automaten unendlich oft besucht wird. Ein Unterschied zu gewöhnlichen endlichen Automaten besteht darin, dass sich herausstellt, dass nichtdeterministische Büchi-Automaten leistungsfähiger sind als deterministische, und dass die regulären Sprachen von nichtdeterministischen Büchi-Automaten akzeptiert werden. Andere sinnvolle Akzeptanzkriterien führen zu anderen Automatenmodellen, die dieselbe Klasse von Sprachen akzeptieren.ω
Beachten Sie, dass es nicht ganz sinnvoll ist, zu schreiben , da Sie nach einer unendlichen Folge von s nichts mehr haben können . Zumindest können Sie nicht, wenn die Positionen in Ihrer Zeichenfolge durch die natürlichen Zahlen indiziert sind. Wenn sie durch größere Ordnungszahlen indiziert sind, kann dies sinnvoll sein.yxyωz y
Ich kann mich nicht erinnern, ob es ein Analogon zum Pump-Lemma für reguläre Sprachen gibt. Das ist etwas peinlich, obwohl es fast ein Jahrzehnt her ist, seit ich eine Abschlussklasse über dieses Zeug unterrichtet habe.ω
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Dies ist ein grundlegendes Ergebnis der Typ-Zwei-Effektivität, das Ihrer Meinung nach Ihre Frage aus berechenbarer Sicht beantwortet. Im Folgenden bestehen unsere Sprachen nur aus unendlichen Zeichenfolgen. Wir bezeichnen die Menge der unendlichen Zeichenketten .Σω
Der Beweis ist von Königs Lemma.
Die Schlussfolgerung ist, dass eine Sprache über unendliche Zeichenfolgen entweder in gewissem Sinne "einfach" (was eine interessante Tatsache ist ) oder unentscheidbar ist. Jede nicht triviale Vorstellung von Sprache über unendliche Zeichenketten ist unentscheidbar.
Sie können vermutlich weniger einfache Sprachen lernen, wenn Sie zulassen, dass die Mitgliedschaft eher halbentscheidbar als entscheidbar ist. Dies kann immer noch als "Informatik" und nicht nur als unendliche Mathematik betrachtet werden (es hat mit Suchproblemen statt mit Entscheidungsproblemen zu tun; Semidecidability ist in gewissem Sinne ausreichend, um eine Suche durchzuführen).
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