Warum impliziert Solidität Beständigkeit?

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Ich habe die Frage gelesen. Beständigkeit und Vollständigkeit implizieren Solidität. und die erste Aussage darin lautet:

Ich verstehe, dass Solidität Beständigkeit impliziert.

Worüber ich ziemlich verwirrt war, weil ich dachte, Solidität sei eine schwächere Aussage als Konsistenz (dh ich dachte, konsistente Systeme müssten solide sein, aber ich denke, es ist nicht wahr). Ich habe die informelle Definition verwendet, die Scott Aaronson in seinem Kurs 6.045 / 18.400 am MIT für Konsistenz und Solidität verwendet hat:

  1. Richtigkeit = Ein Beweissystem ist richtig, wenn alle Aussagen, die es beweist, tatsächlich wahr sind (alles, was beweisbar ist, ist wahr). dh WENN ( ist nachweisbar) ( ist wahr). Also WENN (es gibt einen Pfad zu einer Formel) DANN (diese Formel ist wahr)ϕϕ
  2. Konsistenz = ein konsistentes System beweist niemals A und NICHT (A). Also kann nur ein A oder seine Negation wahr sein.

Unter Berücksichtigung dieser (vielleicht informellen) Definitionen habe ich das folgende Beispiel erstellt, um zu demonstrieren, dass es ein System gibt, das solide, aber nicht konsistent ist:

CharlieSystem{Axioms={A,¬A},InferenceRules={NOT()}}

Der Grund, warum ich dachte, dass es sich um ein Soundsystem handelt, ist, dass die Axiome unter der Annahme wahr sind. Also A und nicht A sind beide wahr (ja, ich weiß, dass das Gesetz der ausgeschlossenen Mitte nicht enthalten ist). Da die einzige Folgerungsregel die Negation ist, erhalten wir, dass wir sowohl A als auch nicht A von den Axiomen aus erreichen und einander erreichen können. Somit erreichen wir nur wahre Aussagen in Bezug auf dieses System. Natürlich ist das System nicht konsistent, da wir die Negation der einzigen Aussage im System nachweisen können. Daher habe ich gezeigt, dass ein Soundsystem möglicherweise nicht konsistent ist. Warum ist dieses Beispiel falsch? Was habe ich falsch gemacht?

In meinem Kopf ist dies intuitiv sinnvoll, da die Zuverlässigkeit nur sagt, dass wir, sobald wir von den Inferenzregeln ausgehen und sie durchsetzen und ankurbeln, nur an Zielen (dh Aussagen) ankommen, die wahr sind. Es sagt jedoch nicht wirklich, an welchem ​​Ziel wir ankommen. Konsistenz besagt jedoch, dass wir nur Ziele erreichen können, die entweder oder (beides nicht beides). Also muss jedes konsistente System das Gesetz der ausgeschlossenen Mitte als Axiom enthalten, was ich natürlich nicht getan habe und dann nur die Negation des einzigen Axioms als einziges anderes Axiom aufgenommen habe. Es fühlt sich also nicht so an, als hätte ich etwas zu Kluges getan, aber irgendwie stimmt etwas nicht?A¬EIN


Mir ist nur klar, dass es ein Problem sein könnte, weil ich Scotts informelle Definition verwende. Noch bevor ich die Frage schrieb, habe ich Wikipedia überprüft, aber ihre Definition ergab für mich keinen Sinn. Insbesondere der Teil, den sie sagen:

in Bezug auf die Semantik des Systems

ihr volles Zitat ist:

Jede Formel, die im System bewiesen werden kann, ist in Bezug auf die Semantik des Systems logisch gültig.

Charlie Parker
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Alle Systeme , die wir sind in can derive Widerspruch interessiert und . EIN¬EIN
Yuval Filmus
@YuvalFilmus Ich glaube nicht, dass ich verstehe, was Ihr Kommentar bedeutet ... Bedeutet das, dass Sie mit meinen Axiomen immer einen Widerspruch ableiten können? Das war so meine Sache, nein? Entschuldigung, ich verstehe es nicht. Ich denke, meine Frage dreht sich nur um die Semantik des Wortes "Solidität" und "Konsistenz", da sich mein Beispiel nur mit der Kategorisierung des "logischen Systems" befasst, das ich erfunden habe.
Charlie Parker
Es bedeutet, dass Ihr System nicht so interessant ist. Alle Systeme, die in der Forschung auftauchen, sind stark genug, um in dieser Situation Widersprüche abzuleiten.
Yuval Filmus
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@YuvalFilmus Mein System ist vermutlich nicht "interessant" für echte Mathematik, das weiß ich natürlich. Mein System wurde pädagogisch definiert, um meine Frage natürlich klar und einfach zu machen und die Verwirrung zu klären, die ich in Bezug auf Solidität und Beständigkeit habe. Aber in diesem Vortrag, den ich verlinkt habe, sagt Scott später, dass Soundness, da es sich um "echte" Wahrheit handelt, konsistent sein muss, weil die Wahrheit mit sich selbst konsistent sein muss (dh Wahr kann nicht gleich Falsch sein). So scheint es, dass Soundsystem nur durch Axiom der ausgeschlossenen Mitte automatisch erben. Ist mein aktuelles Verständnis.
Charlie Parker
Sind und beide wahr? Wenn nicht, wie klingt es dann? ¬ AEIN¬EIN
user253751

Antworten:

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Ich empfehle, die formale Logik über vage, handgewellte Beschreibungen hinaus zu untersuchen. Es ist interessant und sehr relevant für die Informatik. Leider kann die Terminologie und der enge Fokus selbst von Lehrbüchern, die sich speziell mit formaler Logik befassen, ein verzerrtes Bild davon vermitteln, was Logik ist. Das Problem ist, dass die meisten Mathematiker, wenn sie über "Logik" sprechen, (oft implizit) klassische Aussagenlogik oder klassische Logik erster Ordnung meinen. Während dies äußerst wichtige logische Systeme sind, sind sie bei weitem nicht in der Breite der Logik. Auf jeden Fall spielt sich das, was ich sagen werde, größtenteils in diesem engen Kontext ab, aber ich möchte klarstellen, dass es in einem bestimmten Kontext geschieht und nicht außerhalb davon wahr sein muss.

Erstens, wenn Konsistenz als nicht beweisend für und , was passiert, wenn unsere Logik nicht einmal Negation hat oder wenn¬ A ¬EIN¬EIN¬bedeutet etwas anderes? Dieser Begriff der Konsistenz lässt einige Annahmen über den logischen Kontext zu, in dem er sich bewegt. Typischerweise arbeiten wir in der klassischen Aussagenlogik oder in einer Erweiterung davon wie der klassischen Logik erster Ordnung. Es gibt mehrere Darstellungen, dh Listen von Axiomen und Regeln, die als klassische Aussagenlogik / Logik erster Ordnung bezeichnet werden könnten, aber für unsere Zwecke nicht wirklich wichtig sind. Sie sind in einem geeigneten Sinne gleichwertig. Wenn wir über ein logisches System sprechen, meinen wir typischerweise eine (klassische) Theorie erster Ordnung. Dies beginnt mit den Regeln und (logischen) Axiomen der klassischen Logik erster Ordnung, zu denen Sie gegebene Funktionssymbole, Prädikatsymbole und Axiome (sogenannte nichtlogische Axiome) hinzufügen. Diese Theorien erster Ordnung sind in der Regel das, was wir

Als nächstes bedeutet Solidität normalerweise Solidität in Bezug auf eine Semantik. Konsistenz ist eine syntaktische Eigenschaft, die damit zu tun hat, welche formalen Beweise wir führen können. Solidität ist eine semantische Eigenschaft, die damit zu tun hat, wie wir Formeln, Funktionssymbole und Prädikatsymbole in mathematische Objekte und Aussagen interpretieren. Um überhaupt über Solidität zu sprechen, muss man eine Semantik angeben, dh eine Interpretation der oben genannten Dinge. Wir haben wieder eine Trennung zwischen den logischen Verknüpfungen und logischen Axiomen und den Funktionssymbolen, Prädikatsymbolen und nicht-logischen Axiomen. Was Connectives und logische Axiome zu logischen Axiomen aus semantischer Sicht macht, ist, dass sie durch die Semantik besonders behandelt werden, Funktionssymbole, Prädikatsymbole und nicht-logische Axiome jedoch nicht.[[φψ]]=[[φ]][[ψ]] wo ich als die Interpretation der Formel . Insbesondere ist Wobei die Domänenmenge ist. Die Idee ist, dass eine Formel als die Menge von (Tupeln von) Domänenelementen interpretiert wird, die die Formel erfüllen. Eine geschlossene Formel (dh eine Formel ohne freie Variablen) wird als Null-Relation interpretiert, dh als Teilmenge einer Singleton-Menge, die nur diese Singleton-Menge oder die leere Menge sein kann. Eine geschlossene Formel ist "wahr", wenn sie nicht als leere Menge interpretiert wird. Solidität ist dann die Aussage, dass jede nachweisbare (abgeschlossene) Formel im obigen Sinne "wahr" ist.[[φ]]φ[[¬φ]]=D[[φ]]D

Selbst anhand der von mir gegebenen Skizze ist es von hier aus einfach zu beweisen, dass Solidität Konsistenz bedeutet (im Kontext der klassischen Logik erster Ordnung und der von mir skizzierten Semantik). Wenn Ihre Logik Ist ein Ton, dann wird jede beweisbare Formel als nicht leere Menge interpretiert, aber wird immer als leere Menge interpretiert, egal welche Formel ist, und so ist es kann nicht beweisbar sein, dh Ihre Logik ist konsistent.

[[φ¬φ]]=[[φ]](D[[φ]])=
[[φ¬φ]]φ
Derek Elkins verließ SE
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Zögern Sie nicht, mir ein Buch über Logik zu empfehlen. Ich weiß nicht genau, was eine gute Referenz ist, insbesondere für Anfänger in Logik. Das Lustige ist, dass ich Algorithmen und echte Analysen gemacht habe, also habe ich nie genau über die Logik selbst nachgedacht.
Charlie Parker
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Interessanterweise dachte ich immer, dass "Wahrheit" bedeutet, dass wir eine Anweisung auf die Booleschen Werte 0 und 1 abgebildet haben. Aber es scheint, dass das falsch war. Ich denke, wir können mein falsches Modell irgendwie reparieren, indem wir die leere Map auf 0 setzen und die nicht leere auf 1. Ansonsten bin ich mir nicht sicher, wie man Ihren Beweis in "Meine Definition der Wahrheit als Funktion" neu schreiben kann Zuordnung zu 1 oder 0 ".
Charlie Parker
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Das ist die typische Semantik für die klassische Aussagenlogik , die als Spezialfall der klassischen Logik erster Ordnung angesehen werden kann, bei der alle Prädikate null sind. Die booleschen "Wahrheits" -Werte sind in der Tat der leeren Menge und der Singleton-Menge in dieser Ansicht zugeordnet. Einer der nicht ganz so offensichtlichen Punkte meines ersten Absatzes war der, dass unterschiedliche Logiken unterschiedliche Vorstellungen von Semantik haben. Selbst für eine feste Logik gibt es mehrere mögliche Semantiken, die dafür angegeben werden könnten. Es gibt einen Grund, warum ich "die typische Semantik" sage und nicht nur "die Semantik".
Derek Elkins verließ SE
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Derek, wenn Sie Zeit haben, haben Sie dann vielleicht etwas dagegen, ein konkretes Beispiel für die Domain zu machen und wie es in der Tat zum leeren Set führt? (Gerne stelle ich Ihnen auch eine neue Frage.) Ich hatte ein Beispiel im Kopf, wusste aber nicht, wie ich es vervollständigen sollte. Das Beispiel hat gezeigt, dass 2 rational ist UND 2 irrational ist und zur leeren Menge führt (oder mit ). Ich dachte, D ist ein Tupel von ganzen Zahlen. Dann wurde abgebildet, aber ich war mir nicht sicher, auf was Abgebildet wurde. Wissen Sie, wie Sie dieses Beispiel sinnvoll beenden oder auf ein Beispiel verweisen können? 2[[2 ist rational]](2,1)[[2 ist irrational ]]
Charlie Parker
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Hier könnte die Philosophie der Mathematik ins Spiel kommen. Platoniker glauben, dass die Wahrheit der Mengenaussagen (sagen wir) nur erkennbar ist, ohne auf Logik zurückgreifen zu müssen. Wohl für sie, die mengentheoretischen Ausdrücke sind die Bedeutung von logischen Formeln. Formalisten werden eher syntaktische als semantische Ansätze verwenden, dh "wahr" = "beweisbar". Konstruktivisten haben einen anderen Begriff von "Wahrheit" und die rechnerorientiertere Unterschule von ihnen würde die "Wahrheit" über ein Programm bezeugen.
Derek Elkins verließ SE
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Solidität und Konsistenz sind Eigenschaften deduktiver Systeme. Die Stichhaltigkeit kann nur in Bezug auf einige Semantiken definiert werden, von denen angenommen wird, dass sie unabhängig vom deduktiven System gegeben sind.

Im Bereich der Semantik hängen die beiden Eigenschaften zusammen

Definition 1 ( Solidität [Semantik] - von Wikipedia entlehnt ) Die Solidität eines deduktiven Systems ist die Eigenschaft, dass jeder Satz, der in diesem deduktiven System beweisbar ist, auch für alle Interpretationen oder Strukturen der semantischen Theorie für die Sprache gilt, auf der diese Theorie basiert basiert.

Definition 2 ( Konsistenz [Semantik] ) Eine Menge von Sätzen in der Sprache ist nur dann konsistent, wenn eine Struktur der Sprache , die alle Sätze in erfüllt . Ein deduktives System ist konsistent, wenn es eine Struktur gibt, die alle darin nachweisbaren Formeln erfüllt.EINLLEIN

Mit den beiden obigen Definitionen ist klar, dass Solidität Konsistenz impliziert. Dh wenn die Menge aller beweisbaren Sätze in allen Strukturen der Sprache gilt, gibt es mindestens eine Struktur, die sie erfüllt.

Dmitri Chubarov
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eigentlich habe ich wikipedia ausdrücklich gemieden, weil ich nicht verstehe, was "semantisch bedeutet". Stört es Sie zu klären, was das bedeutet? Macht es Ihnen auch etwas mehr Spaß, etwas klarer zu erklären, warum seine klare Solidität Konstanz impliziert? Natürlich ist es mir nicht klar, da diese Frage besteht: p
Charlie Parker
@CharlieParker Ich habe Ihre Kommentare unter anderen Posts gelesen. Ich bin mir nicht sicher, ob es einen Text für Anfänger gibt, der die Grundlagen der Beweissysteme und der Modelltheorie besser erklärt als die einleitenden Kapitel der "Modelltheorie" von Hodges. Eine Ausnahme bildet "A Shorter Model Theory" desselben Autors. Ich gebe zu, dass ich in meinem Beitrag die Konsistenz als Erfüllbarkeit betrogen und definiert habe , weil der Sinn der Konsistenz darin besteht, die Erfüllbarkeit innerhalb des Beweissystems zu charakterisieren.
Dmitri Chubarov
Vielen Dank! Ich werde das überprüfen! Eigentlich brauche ich kein "Einsteigerbuch" und gutes Buch ist gut. Wenn das Buch nicht nur Beweise, sondern auch Intuitionen und Ideen hervorhebt, wäre das sogar noch besser!
Charlie Parker
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Ihr Proofsystem ist weder Ton noch konsistent, da nicht eine wahre Aussage , es sei denn ist A , in welchem Fall ¬ A ist nicht ein wahrer Satz. Dieses Argument zeigt, dass jedes Schallschutzsystem auch konsistent ist.EINEIN¬EIN

Yuval Filmus
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Was ist falsch daran, eine Funktion , die die Dinge auf Wahr oder Falsch abbildet. A und ¬ A sind Symbole, die auf beide zutreffen (wie in dem von mir definierten System). Ich bin mir nicht sicher, was technisch falsch ist, abgesehen davon, dass ich nicht "interessant" für echte Mathematik bin. Aber ein echtes System für das Rechnen zu definieren, war nicht das Ziel meiner Frage. Truth()EIN¬EIN
Charlie Parker
Die Wahrheit hat eine semantische Definition: Sie wird unter allen Wahrheitszuweisungen als wahr bewertet. Sie können sich nicht aussuchen, wie Sie diesen Begriff definieren.
Yuval Filmus
Vielleicht bin ich dort verwirrt, daher meine Frage. Technisch gesehen kann Scott die Wahrheit zwar nicht mathematisch definieren ... aber lassen Sie uns diese Technik aus Gründen der Argumentation ignorieren, damit ich das Problem verstehen kann. Können Sie noch einmal erklären, was Wahrheit bedeutet? Danke für Ihre Geduld. :)
Charlie Parker
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Im Kontext der Aussagenlogik ist eine Formel eine Tautologie, wenn sie unter allen Wahrheitszuweisungen wahr ist. Ein aussagekräftiges Beweissystem ist gesund, wenn alle von ihm nachgewiesenen Formeln tautologisch sind.
Yuval Filmus
Ich weiß, dass du versuchst zu helfen und ich weiß es zu schätzen, aber irgendwie ist dein Beweis zu kurz, um mir wirklich zu erklären, was mit meinem Beispiel im ursprünglichen Beitrag schief gelaufen ist. Wenn Sie das klarstellen können, wäre das fantastisch. Ich denke meine Frage ist, welche Wahrheitszuweisungen Probleme mit dem von mir vorgeschlagenen System bringen.
Charlie Parker
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Wenn wir logische Systeme entwickeln, werden sie häufig durch den Versuch motiviert, ein bereits bestehendes Phänomen zu beschreiben. Zum Beispiel ist Peano-Arithmetik ein Versuch, die natürlichen Zahlen zusammen mit den Operationen der Addition und Multiplikation zu axiomatisieren.

Die Solidität kann nur in Bezug auf das Phänomen definiert werden, das Sie beschreiben möchten, und bedeutet im Wesentlichen, dass Ihre Axiome und Folgerungsregeln die betreffende Sache wirklich beschreiben. So ist zum Beispiel Peano-Arithmetik gesund, weil ihre Axiome und Folgerungsregeln wirklich für die natürlichen Zahlen gelten.

Dies impliziert natürlich, dass Sie ein Konzept von "natürlichen Zahlen" haben, das über Peanos Definition von ihnen hinausgeht, und eine Vorstellung davon, was für die natürlichen Zahlen wahr oder falsch ist, ohne diese Wahrheiten aus einem bestimmten Satz von Axiomen abgeleitet zu haben. Wenn Sie versuchen zu erklären, woher diese Wahrheiten kommen oder wie sie überprüft werden können, landen Sie in philosophischen Gewässern. Wenn Sie jedoch davon ausgehen, dass es natürliche Zahlen gibt und es eine Sammlung wahrer Fakten zu diesen gibt, können Sie das Axiomatisierungsprojekt als den Versuch betrachten, eine präzise formale Spezifikation zu erstellen, aus der viele der wichtigsten hervorgehen Wahrheiten können abgeleitet werden. Dann ist eine Axiomatisierung richtig, wenn alles, was sie beweisen kann, tatsächlich in der vorgegebenen Sammlung von Wahrheiten enthalten ist, d. H.

(Beachten Sie insbesondere, dass Ihre formale Spezifikation nicht alles beweisen wird, was für die natürlichen Zahlen zutrifft, und außerdem die natürlichen Zahlen nicht eindeutig beschreiben wird, da es andere Strukturen gibt, die sich von den natürlichen Zahlen unterscheiden, in denen sich Peanos Axiome befinden auch wahr.)

Zumindest in der Logik erster Ordnung ist eine Theorie konsistent, wenn sie überhaupt Modelle hat. Solidität bedeutet, dass es das spezifische Modell hat, das Sie wollten: Die bestimmte Struktur, die Sie mit Ihrer Theorie beschreiben wollten, ist wirklich ein Modell Ihrer Theorie. Aus dieser Perspektive ist klar, warum Solidität Konsistenz impliziert.

¬

¬N

¬

Noch etwas: Wir gehen nicht davon aus, dass Axiome per Definition wahr sind. Alle Axiome sind per Definition nur die Grundbausteine ​​von Beweisen. Sie sind nur Behauptungen: Sie sind nur wahr oder falsch, wenn sie auf bestimmte mathematische Objekte angewendet werden. Sie können falsche Axiome haben, es ist einfach ziemlich albern, weil Ihr System dann notwendigerweise und sofort nicht mehr solide sein wird.

Ben Millwood
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Um eine prägnante (und intuitive) Antwort zu haben, werde ich das, was Scott Aaronson in seiner MIT-Vorlesung 6.045 / 18.400 sagte, umschreiben. Er sagte so etwas:

Solidität bedeutet, dass alles, was beweisbar ist, wahr ist. Da Konsistenz bedeutet, dass es keine Widersprüche gibt und es sich bereits um Solidität handelt, muss das Konzept von Wahrheit und Wahrheit konsistent sein (dh Wahr! = Falsch), dann muss es bedeuten, dass auch Soundsysteme konsistent sind. Solidität impliziert also Konsistenz, weil (wirklich) wahre Dinge keine Widersprüche aufweisen.

Jetzt, wo ich nachdenke, merke ich, dass ich einige falsche Annahmen / Ideen hatte:

  1. Ich wusste nicht, dass es bei Solidität um Semantik geht. Daher habe ich nicht begriffen, dass die Verwendung von Inferenzregeln aus den Axiomen nicht ausreicht, um zu wahren Konsequenzen zu führen (und dass dies keine Garantie ist, was meiner Meinung nach unmöglich war, widersprüchliche Dinge zu erreichen, solange wir von den Axiomen und ausgegangen sind verwendete gültige Inferenzregeln).
  2. Ich dachte, solange die Axiome wahr sind und die Folgerungsregeln Sinn ergeben, würde alles, was vor sich geht, wahr sein. Was ich jetzt realisiere, könnte nicht wahr sein, denn wenn wir nur eine riesige Liste von Axiomen und Folgerungsregeln haben, ist es schwer zu überlegen, ob alles, was folgt, wahr sein wird. Das heißt, es reicht nicht aus, nur von einem Axiom auszugehen und eine gültige Inferenzregel zu verwenden, um sicherzustellen, dass der nächste Schritt wahr ist.
  3. Das Vorherige ist im Wesentlichen mit der Tatsache verbunden, dass ich nicht erkannt habe, dass es zwei Komplexitätsebenen gibt: 1) Semantik 2) Syntaktik. Das Anlassen des Crunching-Spiels kann zu Widersprüchen führen.
  4. Ich wusste nicht, dass ich die richtige Charakterisierung der Wahrheit nicht kannte, was Derek bei der Charakterisierung sehr gut gemacht hat.
Charlie Parker
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"Ich dachte, solange die Axiome wahr sind und die Inferenzregeln Sinn ergeben, würde alles, was vor sich geht, wahr sein." Für einen entsprechend präzisen Begriff von "sinnvoll" ist dies richtig. Wenn Ihr System fehlerhaft ist, ist (mindestens) eines Ihrer Axiome falsch oder die Inferenzregeln ungültig.
Ben Millwood
@BenMillwood aber das ist falsch, nein? Wegen Godels zweitem Unvollständigkeitssatz. Für jedes formale System F, das Arithmetik umfasst, kann man seine Konsistenz innerhalb von F nicht beweisen. Ich habe das so verstanden, dass meine Annahme der Solidität unmöglich ist (dh wir können kein formales System haben, dass alles, was in ihm beweisbar ist, wahr ist, weil dies der Fall wäre implizieren Konsistenz, die unmöglich erscheint, es sei denn, ich habe natürlich ein Missverständnis über den 2. Unvollständigkeitssatz). Um ehrlich zu sein, ist es in Ordnung, wenn wir nicht vollständig sind. Was mich stört, ist, dass wir nicht einmal Konstanz haben können.
Charlie Parker
F kann mit Sicherheit konsistent sein, dafür gibt es in F einfach keinen Beweis. Sie müssen sich entweder auf ein leistungsfähigeres System oder informelle Argumente berufen oder einfach eine Art von Unsicherheit akzeptieren, die Sie annehmen, auch wenn F konsistent ist Ich werde nicht in der Lage sein, ein wasserdichtes Argument dafür zu konstruieren.
Ben Millwood
@BenMillwood Das nehme ich in meiner Antwort an. Dass es Unsicherheit gibt, dass Beweise tatsächlich funktionieren und ein nächster Schritt zu einer gewissen Lüge führen könnte. Wenn ich wüsste, dass das nicht stimmt, dann würde ich sicher irgendwie wissen, dass ich niemals zu einem Widerspruch kommen werde, der Gödels 2. Unvollständigkeitssatz verletzt. Oder das ist es, was ich bis jetzt verstehe.
Charlie Parker
@BenMillwood Ich glaube, ich habe den Glauben aufgegeben, dass die Anwendung von Inferenzregeln uns die nächsten Aussagen liefert, die zu 100% wahre Aussagen sind. Stattdessen denke ich, dass ich implizit davon ausgegangen bin, dass das Vorankommen nur eine Frage der Syntaktik und nicht der Semantik ist ... könnte natürlich falsch sein, dieses Thema wirkt verwirrend und subtil.
Charlie Parker