Ist NAE-HORN-SAT in P oder NP-hart?

Ich bin daran interessiert, die Komplexität des NAE-HORN-SAT-Problems zu kennen (nicht alle gleich). Wir wissen, dass HORNSAT ist$\mathsf{P}$-vollständig, aber auf der anderen Seite ist NAE-SAT $\mathsf{NP}$-Komplett. Ich möchte wissen, was wir über das NAE-HORN-SAT-Problem sagen können. Lassen Sie mich das Problem formal definieren:

Gegeben: Eine Boolesche Formel $\phi$wird uns in CNF gegeben, wo jede Klausel höchstens ein positives Literal (HORN-Eigenschaft) hat.
Frage: Gibt es eine Zuordnung für die Eingangsvariablen von $\phi$ so dass jede Klausel mindestens ein False- und mindestens ein True-Literal (NAE-Eigenschaft) hat?

NB:

• Positives Literal: jede Variable direkt,
• Negatives Literal: Negation einer Variablen.
• True-Literal: Das Literal wird durch jede Zuweisung dem Booleschen True zugewiesen.
• Falsches Literal: Das Literal wird durch jede Zuweisung dem Booleschen Falsch zugewiesen.

Nach dem Dichotomiesatz von Schaefer muss dieses Problem entweder in liegen$\mathsf{P}$ oder $\mathsf{NP}$-Komplett. Ich kann nur eine Polynomreduktion von HORNSAT zu diesem Problem finden, die eigentlich nichts beweist. Gibt es einen Polynomzeitalgorithmus, um dieses Problem zu lösen?

Oder gibt es eine Möglichkeit, dieses Problem zu beweisen? $\mathsf{NP}$-schwer? Irgendwelche Gedanken dazu?

Ihr Problem, NAE-HORN-SAT ist $NP$-Komplett. Monotone NAE-SAT ist$NP$-vollständig und es ist ein Sonderfall Ihres NAE-HORN-SAT. Literale in der monotonen SAT-Formel sind entweder alle positiv oder alle negativ.

Nehmen Sie eine Instanz des monotonen NAE-SAT-Problems (alle Literale sind negativ), dann ist diese Formel eine Instanz des NAE-HORN-SAT-Problems.

Schäfers Dichotomiesatz gilt in diesem Fall eigentlich nicht unbedingt, da die Breite der Klauseln in einer NAE-HORN-SAT-Formel nicht begrenzt ist. Was Schaefers Theorem Ihnen gibt, ist ein Algorithmus, der für jeden entscheidet$k$, ob die Beschränkung von NAE-HORN-SAT auf Klauseln der Breite $k$ (oder bis zu $k$) ist in P oder NP-vollständig. Der Algorithmus wird auf der Wikipedia-Seite angezeigt , und Sie können einige der Referenzen (z. B. die aktuelle Umfrage von Chen) nachschlagen, um weitere Erklärungen zu erhalten.

In Ihrem Fall gibt es zwei Möglichkeiten. Die erste Möglichkeit ist die für einige$k$, NAE-HORN-SAT ist NP-vollständig für Breitensätze $k$. Die zweite Möglichkeit ist die für alle$k$, NAE-HORN-SAT ist in P. Im letzteren Fall müssen Sie sich den Algorithmus ansehen, der NAE-HORN-SAT für jede Grenze löst $k$(Für jeden der sechs im Satz aufgeführten einfachen Fälle gibt es einen Algorithmus, und Sie erhalten einen davon.) Überprüfen Sie, ob er auf eine unbegrenzte Breite verallgemeinert wird. Wenn nicht, kommen Sie zu uns zurück und stellen Sie die Frage erneut. Bearbeiten: Wir erwarten nicht, dass dies passiert, siehe diese Frage .

Beachten Sie, dass das allgemeine CSP-Problem nicht garantiert in NP (oder sogar berechenbar) liegt, wenn die Klauselbreite unbegrenzt ist, obwohl dies in Ihrem Fall der Fall ist.