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Die Untersuchung der prägnanten Darstellung von Graphen wurde von Galperin und Wigderson in einem Artikel von 1983 initiiert , in dem sie nachweisen, dass für viele einfache Probleme wie das Finden eines Dreiecks in einem Graphen die entsprechende prägnante Version in vollständig ist. Papadimitriou und Yanakkakis forcieren diese Forschungslinie und beweisen, dass für ein Problem das -complete / -complete ist, die entsprechende Kurzfassung, nämlich Succinct , -complete und -complete. (Sie zeigen auch , dass , wenn ist Π N P P Π N E X P E X P Π N L Π P S P A C $\mathsf{NP}$$\Pi$$\mathsf{NP}$$\mathsf{P}$$\Pi$$\mathsf{NEXP}$$\mathsf{EXP}$$\Pi$$\mathsf{NL}$-komplette, dann Prägnante ist -komplette.$\Pi$$\mathsf{PSPACE}$

Nun ist meine Frage, gibt es irgendwelche Probleme , für die bekannt ist, die entsprechende Kurzfassung befindet sich in ? Mich würde interessieren, welche anderen verwandten Ergebnisse (sowohl positive als auch Unmöglichkeitsergebnisse, falls vorhanden) ich möglicherweise oben verpasst habe. (Ich konnte bei einer Google-Suche nichts Interessantes finden, da Suchwörter wie Prägnanz, Repräsentation, Probleme, Grafiken zu fast jeder Komplexität führen! :))$\Pi$$\mathsf{P}$

Hier ist ein interessantes Problem, dessen prägnante Version interessante Eigenschaften hat. Definieren Sie Circuit-Size- als Problem: Hat diese Funktion bei einer Booleschen Funktion als Bit-String eine Circuit-Size von höchstens ? Beachten Sie, dass dieses Problem in .2 n 2 n / 2 N $2^{n/2}$$2^n$$2^{n/2}$$NP$

Eine Möglichkeit zur Definition der Kurzschlussgröße wäre: Für eine Konstante wollen wir bei gegebenem Eingang und Größe der Schaltung wissen, ob ihre Wahrheitstabelle eine Instanz ist of Circuit-Size- . Dies ist jedoch ein triviales Problem: Alle Eingänge, bei denen es sich um tatsächliche Schaltkreise handelt, sind Ja-Instanzen. So ist dieses Problem in . k n n k C 2 n / 2$2^{n/2}$$k$$n$$n^k$$C$$2^{n/2}$$P$

Ein allgemeinerer Weg, um die Kurzschlussgröße wäre: Wir erhalten einen beliebigen Kreis und möchten wissen, ob seine Wahrheitstabelle eine Instanz der Kreisgröße . Aber wenn die Anzahl der Eingaben in , die Größe von ist und , können wir automatisch annehmen: Die Eingabe selbst ist ein Zeuge für die Sprache. Ansonsten haben wir . In diesem Fall ist die Eingabelänge bereits sehr groß, sodass wir alle möglichen Zuweisungen in ausprobieren können. C 2 n / 2 n C m C m ≤ 2 n / 2 m ≥ 2 n / 2 m 2 n m O ( 1 ) N P N P N $2^{n/2}$$C$$2^{n/2}$$n$$C$$m$$C$$m \leq 2^{n/2}$$m \geq 2^{n/2}$$m$$2^n$$m^{O(1)}$Holen Sie sich die Wahrheitstabelle der Funktion, und jetzt kehren wir wieder zum ursprünglichen Problem zurück. Das ist also ein Problem in dessen prägnante Version auch in .$NP$$NP$$NP$

Es wird angenommen, dass dieses Problem nicht hart ist; siehe das Papier von Kabanets und Cai (http://www.cs.sfu.ca/~kabanets/Research/circuit.html)$NP$

Angesichts der Tatsache, dass selbst die Entscheidung, ob der durch eine bestimmte prägnante Darstellung dargestellte Graph mindestens eine Kante enthält oder nicht, dem Schaltkreis SAT entspricht und daher NP-vollständig ist, ist es verlockend zu behaupten, dass jede interessante Eigenschaft einer prägnanten Darstellung NP-schwer sein sollte eine passende Definition von „interessant“. Diese Behauptung wäre ein komplexitätstheoretisches Analogon zum Satz von Rice . Leider ist das Finden des allgemeinsten komplexitätstheoretischen Analogons von Rices Theorem ein offenes Problem , obwohl es Ergebnisse gibt, die einige Formen solcher komplexitätstheoretischer Analoga ergeben.

Ich wollte nicht, dass dies eine Antwort ist, aber es wären zu viele Kommentare erforderlich. Hoffe es ist nützlich.

Wie Tsuyoshi betont, ist es verlockend zu vermuten, dass alle "nicht-trivialen" Eigenschaften hart sind (zum Beispiel NP-hart). Um dies zu zeigen, müssen Sie jedoch nicht-trivial definieren. In Rices Theorem sind die nichttrivialen Eigenschaften alle Eigenschaften mit Ausnahme der Eigenschaft, die alle rechnerisch aufzählbaren Sprachen enthält, und der Eigenschaft, die keine rechnerisch aufzählbare Sprache enthält. Es ist weniger klar, was die richtige Definition von Nicht-Trivialität für prägnante Probleme ist. Definitiv sind die Eigenschaften, die alle Zeichenfolgen oder keine Zeichenfolgen enthalten, in P. Aber es gibt auch andere in P. Beispielsweise die Eigenschaft , die Zeichenfolgen entspricht, deren mittleres Bit 0 ist. Oder enthält alle Zeichenfolgen mit Bits, sodass jedes te Bit 1 ist& Pgr; 2 n 2 n / x x = n O ( 1 $\Pi$$\Pi$$2^n$$2^n/x$$x = n^{O(1)}$ . Wie definieren wir "trivial", um diese Art von Eigenschaften zu erfassen?

Eine Idee ist, sich die anzuschauen, die "symmetrisch" sind: Wenn sich ein String in , befindet sich auch jede Permutation der Bits von in . Solche Eigenschaften hängen nur von der Anzahl von 1 Bit in einer Zeichenfolge ab. In einer Antwort auf die mit Tsuyoshi verknüpfte Frage gibt Ryan Williams einen Link zu diesem Artikel, der zeigt, dass all diese Probleme UP-schwer sind.s Π s $\Pi$$s$$\Pi$$s$$\Pi$

Andere Ideen, wie man "nicht-triviales Eigentum" definiert? Wir können als eine Familie von Booleschen Funktionen betrachten (die Indikatorfunktionen der Eigenschaft für jede Zeichenkettenlänge). Es scheint mir, dass die nicht-trivialen Eigenschaften diejenigen sind, für die die entsprechende Familie von Booleschen Funktionen eine nicht-triviale Komplexität aufweist. Können wir zum Beispiel zeigen, dass Eigenschaften, deren zugeordnete boolesche Funktionsfamilie eine lineare Entscheidungsbaumkomplexität aufweist, schwierig sind?$\Pi$