Zählen der Anzahl dicker Bereiche, die ein Quadrat überlappen

Sei ein Einheitsquadrat. Was ist in Abhängigkeit von β die maximale Anzahl von paarweise disjunkten β- Fettregionen mit einem Durchmesser von mindestens 1, die S schneiden können ?$S$$\beta$$\beta$$S$

Nachfolgend geben wir eine Abbildung an, die zeigt, dass für die maximale Anzahl 7 beträgt. Was ist mit β = 2 , 3 , … , n ?$\beta=1$$\beta = 2, 3, \ldots, n$

Erinnern Sie sich an die Definition von Fett für Regionen in der Ebene. Bei einer gegebenen Region sei der Kreis C 1 mit dem Radius r 1 der größte in R enthaltene Kreis und der Kreis C 2 mit dem Radius r 2 der kleinste Kreis, der R enthält . Die Fettigkeit von R ist gegeben durch r $R$$C_1$$r_1$$R$$C_2$$r_2$$R$$R$ , und wir sagendassRistβ-fat, fürβ=r$\frac{r_2}{r_1}$$R$$\beta$ .$\beta = \frac{r_2}{r_1}$

Zum Beispiel, wenn sind die Bereiche Einheitskreise, und es gibt 7 Kreise mit einem Durchmesser von mindestens 1, dieSüberlappenkönnen,ohne sich zu überlappen. In der folgenden Abbildung haben wir ein Einheitsquadrat und 7 Einheitskreise dargestellt, die das Quadrat überlappen.$r_2 = r_1=\frac{1}{2}$$S$

Ich denke, dass die maximale Anzahl paarweise disjunkter Fettregionen, die das Quadrat überlappen, stark mit der Kreispackung zusammenhängen sollte.

$\beta=2$

.

und diese können in Entfernung 1 des Einheitsquadrats offensichtlich viel enger packen, als ich sie dargestellt habe.

Beachten Sie, dass der tatsächliche Kugel- und Kettenbereich durch den grünen Bereich definiert ist und der äußere Kreis nur eine Richtlinie ist, um die Tatsache darzustellen, dass diese Bereiche Fett 2 aufweisen. Tatsächlich kann sich der Kettenteil des Bereichs "biegen", um dies zu ermöglichen Weitere Regionen müssen gepackt werden.