Eine Reihe von geometrischen Problemen ist in einfach , in für jedoch NP-vollständig (einschließlich eines meiner Lieblingsprobleme, Einheitsplattenabdeckung).R d d ≥ 2
Kennt jemand ein Problem, das für und R 2 polyzeitlösbar , für R d jedoch NP-vollständig ist , d ≥ 3 ?
Gibt es allgemeiner Probleme, die für NP-vollständig, für R k - 1 jedoch polyzeitlösbar sind , wobei k ≥ 3 ist ?
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Bob Fraser
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Antworten:
Deckung durch halbe Lücken setzen.
Wenn eine Menge von Punkten in der Ebene gegeben ist und eine Menge von Halbebenen berechnet wird, kann die minimale Anzahl von Halbebenen, die die Punktmengen abdecken, in Polynomzeit in der Ebene gelöst werden. Das Problem ist jedoch NP schwer in 3d (es ist schwieriger als eine minimale Deckung durch eine Teilmenge von Scheiben mit Punkten in 2d zu finden). In 3d erhalten Sie eine Teilmenge von Halbräumen und Punkten, und Sie suchen nach einer minimalen Anzahl von Halbräumen, die die Punkte abdecken.
Der Polytime-Algorithmus in 2d wird hier beschrieben: http://valis.cs.uiuc.edu/~sariel/papers/08/expand_cover/
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Es ist nicht ganz das, wonach Sie fragen, denn die 3D-Version ist noch schwieriger als NP-vollständig, aber: Das Finden eines kürzesten Pfades zwischen zwei Punkten unter polygonalen Hindernissen in der Ebene erfolgt in Polynomzeit (am einfachsten erstellen Sie den Sichtbarkeitsgraphen der beiden Terminals und die Polygonscheitelpunkte und wenden Dijkstra an; es gibt auch einen komplizierteren O (n log n) -Algorithmus aufgrund von Hershberger und Suri, SIAM J. Comput. 1999), aber das Finden eines kürzesten Pfades unter polyedrischen Hindernissen in 3d ist PSPACE-vollständig (Canny und Reif, FOCS 1987).
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Jedes nicht konvexe Polygon in der Ebene kann in O (n) -Zeit ohne Steiner-Punkte trianguliert werden. Das heißt, jeder Scheitelpunkt der Triangulation ist ein Scheitelpunkt des Polygons. Außerdem hat jede Triangulation genau n-2 Dreiecke.
Die Bestimmung, ob ein nichtkonvexes Polyeder in R ^ 3 ohne Steiner-Punkte trianguliert werden kann, ist NP-vollständig. Das Ergebnis der NP-Härte ist auch dann gültig, wenn Sie eine Triangulation mit einem Steiner-Punkt erhalten. Daher ist auch die Annäherung an die erforderliche Mindestanzahl von Steiner-Punkten NP-hart. [Jim Ruppert und Raimund Seidel. Über die Schwierigkeit, dreidimensionale nichtkonvexe Polyeder zu triangulieren. Discrete Comput. Geom. 1992.]
Wenn das gegebene Polyeder konvex ist, ist das Finden einer Triangulation einfach, aber das Finden der Triangulation mit der minimalen Anzahl von Tetraedern ist NP-hart. [Alexander Below, Jesús de Loera und Jürgen Richter-Gebert. Die Komplexität, kleine Triangulationen von konvexen 3-Polytopen zu finden . J. Algorithms 2004.]
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Es ist einfach zu entscheiden, ob ein metrischer Raum isometrisch in R ^ 2 eingebettet werden kann. Es ist jedoch schwer, sich für die Einbettbarkeit von R ^ 3 zu entscheiden.
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