Warum Bewertungen bei der Definition von FOL?

Warum braucht man Bewertungen, um die Semantik der Logik erster Ordnung zu definieren? Warum nicht einfach für Sätze definieren und auch Formelsubstitutionen definieren (wie erwartet). Das sollte genug sein:

anstatt

Es ist durchaus möglich, Zufriedenheit nur mit Sätzen zu definieren, wie Sie vorschlagen, und tatsächlich war dies lange Zeit der Standardansatz.

Der Nachteil dieser Methode besteht darin, dass semantische Objekte in Syntax gemischt werden müssen: Um die Zufriedenheit von Sätzen in einem Modell induktiv zu definieren, reicht es nicht aus, sie für Sätze der Originalsprache von zu definieren . Sie müssen zuerst die Sprache mit einzelnen Konstanten für alle Elemente der Domäne von und dann die Zufriedenheit für Sätze in der erweiterten Sprache definieren. Dies ist meines Erachtens der Hauptgrund, warum dieser Ansatz nicht mehr angewendet wurde. Wenn Sie Bewertungen verwenden, können Sie eine klare konzeptionelle Unterscheidung zwischen syntaktischen Formeln der Originalsprache und semantischen Entitäten, die zur Modellierung dieser Formeln verwendet werden, beibehalten.M $M$$M$$M$

Die Bedeutung einer geschlossenen Formel ist ein Wahrheitswert oder . Die Bedeutung einer Formel, die eine freie Variable die sich über eine Menge ist eine Funktion von bis zu Wahrheitswerten. Die Funktionen bilden eine vollständige Boolesche Algebra, sodass wir die Logik erster Ordnung darin interpretieren können.⊤ x A A A → { ⊥ , ⊤ $\bot$$\top$$x$$A$$A$$A \to \lbrace \bot, \top \rbrace$

In ähnlicher Weise bezeichnet ein geschlossener Term ein Element einer Domäne , während ein Term mit einer freien Variablen eine Funktion da das Element vom Wert der Variablen abhängt.D D → $t$$D$$D \to D$

Es ist daher natürlich, eine Formel mit freien Variablen in der vollständigen Booleschen Algebra zu interpretieren, wobei ist die Bereichsdomäne der Variablen. Ob Sie die Interpretation in dieser vollständigen Booleschen Algebra in Bezug auf Bewertungen oder auf andere Weise formulieren, ist eine technische Frage.x 1 , … , x n D n → { ⊥ , ⊤ }$\phi(x_1, \ldots, x_n)$$x_1, \ldots, x_n$$D^n \to \lbrace{\bot, \top\rbrace}$$D$

Mathematiker scheinen generell verwirrt über freie Variablen zu sein. Sie denken, dass sie implizit universell quantifiziert sind oder so. Die Ursache hierfür ist ein Metasatz, der besagt, dass genau dann beweisbar ist, wenn sein universeller Abschluss ist beweisbar. Formeln haben aber mehr zu bieten als ihre Beweisbarkeit. Zum Beispiel ist im Allgemeinen nicht gleichbedeutend mit , daher können wir sicherlich nicht so tun, als wären diese beiden Formeln austauschbar.∀ x . ϕ ( x ) ϕ ( x ) ∀ x . ϕ ( x $\phi(x)$$\forall x . \phi(x)$$\phi(x)$$\forall x . \phi(x)$

Zusammenfassen:

• Formeln mit freien Variablen sind unvermeidlich, zumindest in der üblichen Logik erster Ordnung.
• Die Bedeutung einer Formel mit einer freien Variablen ist eine Wahrheitsfunktion .
• Daher sind wir in der Semantik gezwungen, vollständige Boolesche Algebren berücksichtigen, aus denen die Bewertungen stammen.$D^n \to \lbrace\bot, \top\rbrace$
• Der universelle Verschluss einer Formel entspricht nicht der ursprünglichen Formel.
• Es ist ein Fehler, die Bedeutung einer Formel mit der Bedeutung ihres universellen Verschlusses gleichzusetzen, genauso wie es ein Fehler ist, eine Funktion mit ihrer Codomäne gleichzusetzen.

Ganz einfach , weil es „zu sagen natürlichere ist wahr ist , wenn ist “ (die auf einer Bewertung, das sendet zu ) als " gilt , wenn wir ersetzen (die Zahl selbst, nicht der griechische Buchstabe) für ". Technisch sind die Ansätze gleichwertig.x π x π x > 2 π $x > 2$$x$$\pi$$x$$\pi$$x > 2$$\pi$$x$

Ich möchte Alexeys Antwort stärken und behaupten, dass der Grund dafür ist, dass die erste Definition unter technischen Schwierigkeiten leidet und nicht nur, dass der zweite (Standard-) Weg natürlicher ist.

Alexys Punkt ist, dass der erste Ansatz, dh:

$M \models \forall x . \phi \iff$ für alle :M ⊨ ϕ [ x ↦ d $d \in M$$M \models \phi[x\mapsto d]$

mischt Syntax und Semantik.

Nehmen wir zum Beispiel Alexeys Beispiel:

${(0,\infty)} \models x > 2$

Um dies zu zeigen, müssen wir unter anderem Folgendes zeigen: $(0,\infty) \models \pi > 2$

Die Entität ist keine Formel, es sei denn, unsere Sprache enthält das Symbol , das im Modell als mathematische Konstante .π M π ≈ 3.141 $\pi > 2$$\pi$$M$$\pi \approx 3.141\ldots$

Ein Extremfall wäre, zu zeigen , dass , und wieder, die rechte Seite ist eine gültige Formel nur dann , wenn unsere Sprache ein binäres Radikal Symbol enthält , das heißt interpretiert als Radikal und und .$M\models\sqrt[15]{15,000,000} > 2$$\sqrt{}$$15$$15,000,000$

Überlegen Sie, was passiert, wenn das von uns vorgestellte Modell eine kompliziertere Struktur aufweist, um den Punkt nach Hause zu bringen. Anstatt beispielsweise reelle Zahlen zu nehmen, nehmen Sie Dedekind-Schnitte (eine bestimmte Implementierung der reellen Zahlen).

Dann sind die Elemente Ihres Modells nicht nur "Zahlen". Sie sind Paare rationaler Zahlen , die einen Dedkind-Schnitt bilden.$(A,B)$

Schauen Sie sich nun das Objekt an "(was wir bekommen, wenn wir den Dedekind-Schnitt" ersetzen ", der in der Formel . Was ist dieses Objekt? Es ist keine Formel - es hat Mengen und Paare und wer weiß was Es ist möglicherweise unendlich.$({q \in \mathbb Q | q < 0 \vee q^2 < 5}, {q \in \mathbb Q | 0 \leq q \wedge q^2 > 5}) > 2$$\sqrt{5}$$x > 2$

Damit dieser Ansatz gut funktioniert, müssen Sie Ihren Begriff "Formel" um solche gemischten Entitäten aus semantischen und syntaktischen Objekten erweitern. Dann müssen Sie Operationen wie Ersetzungen für sie definieren. Aber jetzt wären Substitutionen keine syntaktischen Funktionen mehr: . Es würde sich um Operationen mit sehr sehr großen Sammlungen dieser verallgemeinerten, semantisch gemischten Begriffe handeln.$[ x \mapsto t]: Terms \to Terms$

Es ist möglich, dass Sie diese technischen Probleme überwinden können, aber ich denke, Sie müssen sehr hart arbeiten.

Der Standardansatz behält die Unterscheidung zwischen Syntax und Semantik bei. Was wir ändern, ist die Bewertung, eine semantische Einheit, und die Formeln bleiben syntaktisch.