Ich interessiere mich für das "nächstgelegene" (und "komplexeste") Problem der Collatz-Vermutung , das erfolgreich gelöst wurde (was laut Erdos "Mathematik ist noch nicht reif für solche Probleme"). Es wurde bewiesen, dass eine Klasse von "Collatz-ähnlichen" Problemen unentscheidbar ist. Vage ähnliche Probleme wie das MIU-Spiel von Hofstadter (gelöst, aber zugegebenermaßen eher ein Spielzeugproblem) sind in der Tat entscheidbar oder wurden gelöst.
14
Antworten:
Ein erweiterter Kommentar:
Collatz-ähnliche Sequenzen können von kleinen Turing-Maschinen mit wenigen Symbolen und Zuständen berechnet werden . In " Small Turing Machines und Generalized Busy Beaver Competition " von P. Michel (2004) gibt es einen schönen Tisch, der Collatz-ähnliche Probleme zwischen entscheidbaren TMs (für die das Halteproblem entscheidbar ist) und Universal TMs positioniert.
Es gibt TMs dass compute Collatz-ähnliche Sequenzen , für die die decidability noch ein offenes Problem: , T M ( 3 , 3 ) und T M ( 2 , 4 ) (wobei T M ( k , l ) ist der Satz von Turing Machine mit k Zuständen und l Symbolen). Ich weiß nicht, ob die Ergebnisse verbessert wurden.TM(5,2) TM(3,3) TM(2,4) TM(k,l) k l
Aus dem Fazit der Arbeit:
... Die gegenwärtige Collatz-ähnliche Linie befindet sich bereits auf dem niedrigstmöglichen Niveau, mit der möglichen Ausnahme von , aber wir vermuten, dass alle Maschinen in diesem Satz als entscheidbar erwiesen werden können ...TM(4,2)
Siehe auch " Die Komplexität kleiner universeller Turingmaschinen: eine Umfrage " von D. Woods und T. Neary (2007).
Ein weiteres Beispiel für ein Collatz-ähnliches Problem, für das die Entscheidbarkeit ein offenes Problem darstellt, ist das Post-Tag-System: ; Für eine aktuelle Analyse siehe " Über die Grenzen der Lösbarkeit und Unlösbarkeit in Tag-Systemen. Theoretische und experimentelle Ergebnisse " von L. De Mol (2009).μ=2,v=3,0→00,1→1101
quelle
quelle