Die Entropie einer Faltung über dem Hyperwürfel

Angenommen, wir haben eine Funktion , so dass ( Wir können uns also als Distribution vorstellen. Es ist natürlich, die Entropie einer solchen Funktion wie folgt zu definieren: $f:\mathbb{Z}_2^n \to \mathbb{R}$ $\sum _{x\in \mathbb{Z}_2^n} f(x)^2 = 1$ $\{ f(x)^2\} _{x\in \mathbb{Z}_2^n}$

H (f) = - \sum_{x \in Z_{2}^{n}} f (x)^{2} Log (f (x)^{2}) .

$H(f) = -\sum _{x \in \mathbb{Z}_2^n} f(x)^2 \log \left( f(x)^2 \right) .$

Betrachten Sie nun die Faltung von mit sich selbst: (Da es sich um , gilt ) $f$

[f * f] (x) = \sum_{y \in Z_{2}^{n}} f (y) f (x + y) .

$[ f*f] (x) = \sum_{y \in \mathbb{Z}_2^n}f(y)f(x+y) .$

Z_{2}^{n}

$\mathbb{Z}_2^n$

x + y = x - y

$x+y=x-y$

Ist es möglich, die Entropie von (normalisiert in seiner , damit es sich um eine Verteilung handelt) durch die Entropie von nach oben zu begrenzen ? Gibt es formal eine Konstante so dass $f*f$ $L_2$ $f$ $C$

H (\frac{f * f}{‖ f * f ‖_{2}}) \leq C \cdot H (f)

$H \left( \frac{f*f}{\|f*f\|_2} \right) \le C \cdot H(f)$

Diese Frage wurde am ersten August an mathoverflow gesendet : mathoverflow.net/questions/103668/… (normalerweise ist es in Ordnung, mit einer solchen Verzögerung zu kreuzen, aber Sie sollten sagen, was Sie tun).

Colin McQuillan

Diese Richtlinie war mir leider nicht bekannt.

Die Ungleichung der Entropiekraft könnte für Sie nützlich sein: en.wikipedia.org/wiki/Entropy_power_inequality

Or Meir

Antworten:

Es gibt keine solche . Definiere durch $C$ $g\colon\mathbb{Z}_2^n\to\mathbb{R}$

G (x_{1}, \dots, x_{n}) = {\begin{cases} 2^{2 n / 3} & wenn x_{1} = \dots = x_{n} = 0 \\ 1 & Andernfalls. \end{cases}

$g(x_1,\dots,x_n)=\begin{cases} 2^{2n/3}&\text{ if $x_1=\dots=x_n=0$}\\ 1&\text{ otherwise.}\end{cases}$

Dann erfüllt $g*g$

(G * G) (x_{1}, \dots, x_{n}) = {\begin{cases} 2^{4 n / 3} + 2^{n} - 1 & wenn x_{1} = \dots = x_{n} = 0 \\ 2^{2 n / 3} \cdot 2 + 2^{n} - 2 & Andernfalls. \end{cases}

$(g*g)(x_1,\dots,x_n)=\begin{cases} 2^{4n/3}+2^n-1&\text{ if $x_1=\dots=x_n=0$}\\ 2^{2n/3}\cdot 2+2^n-2&\text{ otherwise.}\end{cases}$

Sei . Dann ist (in der Tat ist es exponentiell klein ), während im Begriff ist . $f=g/\|g\|_2$ $H(f)=H(g/\|g\|_2)$ $o(1)$ $n$ $H(g*g/\|g*g\|_2)$ $n$

Colin McQuillan
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