Kombinatoren für die primitiven rekursiven Funktionen

Es ist bekannt, dass die S- und K-Kombinatoren Turing Complete sind. Gibt es Kombinatoren, die ausreichen, um (nur) die primitiven rekursiven Funktionen zu liefern?

Ja, aber Sie müssen typisierte Kombinatoren berücksichtigen. Das heißt, Sie müssen und K die folgenden Typschemata geben: K : A → B → A S : ( A → B → C ) → ( A → B ) → ( A → C ) wobei A , B und C sind Metavariablen, die bei jeder Verwendung zu einem beliebigen konkreten Typ instanziiert werden können.$S$$K$

$$\begin{array}{lcl} K & : & A \to B \to A \\ S & : & (A \to B \to C) \to (A \to B) \to (A \to C) \end{array}$$ $A, B$$C$

Dann wollen Sie den Typ hinzufügen der natürlichen Zahlen auf die Sprache der Typen und fügen Sie die folgenden combinators: z : N s u c c : N → N i t e r : N → ( N → N ) → N → $\mathbb{N}$

$$\begin{array}{lcl} z & : & \mathbb{N} \\ succ & : & \mathbb{N} \to \mathbb{N} \\ iter & : & \mathbb{N} \to (\mathbb{N} \to \mathbb{N}) \to \mathbb{N} \to \mathbb{N} \end{array}$$

Die Gleichheitsregeln für die Zusätze sind:

$$\begin{array}{lcl} iter\;i\;f\;z & = & i \\ iter\;i\;f\;(succ\;e) & = & f(iter\;i\;f\;e) \end{array}$$

$$\begin{array}{lcl} iter & : & A \to (A \to A) \to \mathbb{N} \to A \end{array}$$ $iter$

$\mathit{iter}$

$$\begin{array}{lcl} pred' & = & \lambda k.\;iter \;(z, z) \; (\lambda (n, n').\; (succ\;n, n))\;k\\ pred & = & \lambda k.\;snd(pred'\;k) \end{array}$$

$\mathbb{N} \simeq \mathbb{N} \times \mathbb{N}$