Betrachten Sie eine Permutation von [ 1 .. n ] . Eine Inversion ist als ein Paar ( i , j ) von Indizes definiert, so dass i < j und σ ( i ) > σ ( j ) .
Definieren Sie als die Anzahl der Permutationen von [ 1 .. n ] mit höchstens k Inversionen.
Frage: Was ist die enge asymptotische Grenze für ?
Zuvor wurde eine verwandte Frage gestellt: Anzahl der Permutationen, die den gleichen Kendall-Tau-Abstand haben
Die obige Frage betraf jedoch die Berechnung von . Sie kann mit dynamischer Programmierung berechnet werden, da sie die hier gezeigte Wiederholungsrelation erfüllt: /programming/948341/dynamic-programming-number-of-ways-to-get-at-stest-n-bubble -Sortentausch
Die Anzahl der Permutationen mit genau Inversionen wurde ebenfalls untersucht und kann als generierende Funktion ausgedrückt werden: http://en.wikipedia.org/wiki/Permutation#Inversions
Aber ich kann keine geschlossene Formel oder keine asymptotische Bindung finden.
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Antworten:
Laut Wikipedia ist die Anzahl der Permutationen in mit genau k Inversionen der Koeffizient von X k in 1 ( 1 + X ) ( 1 + X + X 2 ) ⋯ ( 1 + X + ⋯ + X n - 1 ) . Bezeichne dies mit c ( n , k ) . Dies zeigt, dass c ( n + 1 ,Sn k Xk
Wenn konstant ist, ist der asymptotisch wichtigste Term derjenige, der , und wir haben Die gleichen asymptotischen Eigenschaften gelten für , nach denen Sie gesucht haben.k t=k
Bei nicht konstantem nimmt die Verwendung der Tatsache, dass in underhalten wir die Grenzen Bessere Grenzen sind sicherlich möglich, aber das überlasse ich Ihnen.k (n+t−k−1t)=(n+t−k−1n−k−1) t ∑kt=0c(k,t)≤k!
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