Was ist der Unterschied zwischen Pfeilen und Exponentialobjekten in einer geschlossenen kartesischen Kategorie?

In einer cartesianischen Closed - Kategorie ( CCC ), gibt es die so genannten exponentiellen Objekte , geschrieben . Wenn ein CCC wird als ein Modell der einfach-typisiert Kalkül , ein exponentielles Objekt wie kennzeichnet die Funktion Raum vom Typ zu Typ . Ein exponentielles Objekt wird durch einen Pfeil namens Pfeil Pfeil Pfeil und durch einen Pfeil namens eliminiert Pfeil (der leider genannt$B^A$$\lambda$$B^A$$A$$B$$curry : (A \times B \rightarrow C) \rightarrow (A \rightarrow C^B)$$apply : C^B \times B \rightarrow C$$eval$in den meisten Texten zur Kategorietheorie). Meine Fragen hier sind: Gibt es einen Unterschied zwischen dem Exponentialobjekt und dem Pfeil ?$C^B$$B \rightarrow C$

Einer ist intern und der andere ist extern .

Eine Kategorie besteht aus Objekten und Morphismen. Wenn wir schreiben, meinen wir, dass ein Morphismus von Objekt nach Objekt . Wir können alle Morphismen von nach in einer Menge von Morphismen sammeln , die "Hom-Menge" genannt wird. Diese Menge ist kein Objekt von , sondern ein Objekt der Kategorie Mengen. f : A → B f A B A $\mathcal{C}$$f : A \to B$$f$$A$$B$$A$$B$ $\mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(A,B)$$\mathcal{C}$

Im Gegensatz dazu ist ein exponentielles ein Objekt in . So denkt " an seine Hom-Sets". Also muss mit jeder Struktur ausgestattet sein, die die Objekte von haben.C C B A $B^A$$\mathcal{C}$$\mathcal{C}$$B^A$$\mathcal{C}$

Betrachten wir als Beispiel die Kategorie der topologischen Räume. Dann ist eine fortlaufende Abbildung von nach , und ist die Menge aller dieser fortlaufenden Abbildungen. Aber , wenn es existiert, ein topologischer Raum! Sie können beweisen, dass die Punkte von (in bijektiver Entsprechung zu) den fortlaufenden Abbildungen von nach . Tatsächlich gilt im Allgemeinen: Die Morphismen (die "die globalen Punkte von " sind) stehen in bijektiver Entsprechung zu den Morphismen , weil X Y H o m T o P ( X , Y ) Y X Y X X Y 1 → B A B A A → B H o m ( 1 , B A ) ≅ H o m ( 1 × A , B ) ≅ H o m ( A , $f : X \to Y$$X$$Y$$\mathrm{Hom}_{\mathsf{Top}}(X,Y)$$Y^X$$Y^X$$X$$Y$$1 \to B^A$$B^A$$A \to B$

$$\mathrm{Hom}(1, B^A) \cong \mathrm{Hom}(1 \times A, B) \cong \mathrm{Hom}(A, B).$$

Manchmal erhalten wir nachlässig über das Schreiben im Gegensatz zu . Tatsächlich sind diese beiden oft Synonyme, mit dem Verständnis, dass "oh, hier meine ich übrigens die andere Notation" bedeuten könnte, was bedeutet, dass ein Morphismus von A → B f : A → B f $B^A$$A \to B$$f : A \to B$$f$$A$ nach ." Wenn Sie zum Beispiel das Currymorphismus- Curry aufgeschrieben haben : ( A × B → C ) → ( A → C B ) , sollten Sie wirklich Curry geschrieben haben : C A × B → $B$

$$\textit{curry}: (A \times B \to C) \to (A \to C^B)$$ Wir können also niemandem die Schuld geben, hier verwirrt zu sein. Das innere→wird im inneren Sinne verwendet, das äußere im äußeren. $$\textit{curry}: C^{A \times B} \to {(C^B)}^A.$$ $\to$

$\lambda$$t$$B$$t : B$$B$$B$

$$\textit{curry}: (A \times B \to C) \to (A \to C^B)$$ $\lambda$ $$\textit{curry}: ((C^B)^A)^{C^{A \times B}}.$$ $B^A$$A \to B$