Untergrenze für die Größe maximaler intervallinduzierter Teilgraphen eines Vertex-Graphen

Sei ein maximal induzierter Intervall-Teilgraph eines Graphen . Wenn， Was ist dann die kleinste Anzahl von ?$H$$G=(V,E)$$n=|V|$$V(H)$

Die Zahl beträgt höchstens : Betrachten Sie einen Satz disjunkter Löcher.$3n/4$$4$

Kann es kleiner sein?

Ich denke, die Antwort ist und der Beweis ist der gleiche wie der klassische Beweis des Ramsey-Theorems. Einerseits haben Sie immer einen vollständigen oder leeren Untergraphen mit diesen vielen Eckpunkten. hat ein Zufallsgraph keinen großen induzierten freien Untergraphen. Für letzteres wurde die Anzahl der induzierten Untergraphen auf Eckpunkten durch und für jede Grenze die Wahrscheinlichkeit, durch wobei eine Konstante ist. Dies können wir tun, weil ein vollständiger Graph auf Eckpunkten disjunkte .$\Theta(\log n)$$C_4$$t$$n^t$$C_4$$c^{t^2}$$c<1$$t$$\Omega(t^2)$$K_4$

Teilen Sie die möglichen Kanten unter allen Eckpunkten genauer in disjunkte Cliquen von vier Eckpunkten auf. In einer solchen Clique von vier Eckpunkten ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Kanten zwischen ihnen kein bilden, eine Konstante . Daher ist die Wahrscheinlichkeit, dass es in keiner der Cliquen ein gibt, . Dies ist eindeutig eine Obergrenze für den Zufallsgraphen, der .$t\choose 2$$t$$\Omega(t^2)$$C_4$$p<1$$C_4$$p^{\Omega(t^2)}$$C_4$

Wir können ; Betrachten Sie den vollständigen -Partit-Graphen, solange es zwei Parteien gibt, die beide mehr als einen Knoten im Inneren haben, gibt es ein induziertes , sodass es nicht inteval sein kann. Daher müssen wir mindestens Knoten entfernen , um alle induzierten zu zerstören .$2\sqrt{n}-1$$\sqrt{n}$$C_4$$(\sqrt{n}-1)^2 = n - 2\sqrt{n} + 1$$C_4$