Leser, Schreiber Monaden

Sei ein CCC . Lassen ein Produkt bifunctor auf sein . Da Cat CCC ist, können wir curry :$C$$(\times)$$C$$(\times)$

$curry (\times) : C \rightarrow(C \Rightarrow C)$

$curry (\times) A = \lambda B. A \times B$

Die Funktorkategorie hat die übliche monoidale Struktur. $C \Rightarrow C$ A monoid in ist ein monadisch in . $C \Rightarrow C$$C$ Wir betrachten endliche Produkte als monoidal Struktur auf .$C$

$curry (\times) 1 \cong id$

$\forall A\ B. curry (\times) (A\times B) \cong (curry (\times) A) \circ (curry (\times) B)$

Daher behält die monoidale Struktur bei und transportiert ein Monoid zu einer Monade und ein Comonoid zu einer Comonade. Es transportiert nämlich ein beliebiges Monoid zu ( W r i t e r w ) Monade (siehe Definition - w muss ein Monoid sein). Ebenso transportiert es den diagonalen Comonoid zur Coreader- Comonade.$(curry (\times))$$w$$(Writer\ w)$$w$

Der Vollständigkeit halber entfalte ich jetzt die Konstruktion von Writer.

Start. Eigentlich $Writer = Coreader = curry(\times)$ , sie haben nur unterschiedliche Namen in Haskell. Wir haben eine Haskell monoid $\langle w, mappend, mempty\rangle$ :

$mappend : w\times w \to w$

$mempty : 1 \to w$

Writer ist ein Funktors, so ist es auch morphisms abbilden muss, wie beispielsweise $mappend$ und $mempty$ . Ich schreibe dies wie folgt, obwohl es in Haskell ungültig ist:

$Writer\ mappend : Writer(w\times w) \to Writer\ w$

$Writer\ mappend$ ist eine natürliche Transformation, eine morphism in$C\Rightarrow C$ . Durch die Eigenschaften von$curry(\times)$ es eine Funktion, die annimmt$a \in Ob(C)$und einen Morphismus in ergibt$C$:

$Writer\ mappend\ a = mappend\times(id(a)) : Writer (w\times w) a \to Writer\ w\ a$

Formlos, Summen - Komponenten vom Typ W und die Pumpen eines intakt. Dies ist genau die Definition von Writer in Haskell. Ein Hindernis ist , dass für die Monade ⟨ W r i t e r w , μ , & eegr; ⟩ wir brauchen$Writer\ mappend\ a$$w$$a$$\langle Writer\ w,\mu,\eta\rangle$

$\mu : Writer\ w \circ Writer\ w \to Writer\ w$

dh Inkompatibilität von Typen. Diese Funktoren sind jedoch isomorph: durch den üblichen Assoziator für endliche Produkte, der ein natürlicher Isomorphismus ≅ λ a ist . w × ( w × a ) = W r i t e r w ∘ W r i t e r $Writer (w\times w) = \lambda a. (w\times w)\times a$$\cong \lambda a. w\times(w\times a) = Writer\ w \circ Writer\ w$. Anschließend definieren wir über W r i t e r m a p p e n d . Ich lasse eine Konstruktion von η über m e m p t y aus .$\mu$$Writer\ mappend$$\eta$$mempty$

Writer, wobei ein Funktors bewahrt kommutative Diagramme, dh Konserven monoid Gleichheiten, so haben wir selbstverständlich bewiesen Gleichheiten für = a monoid in ( C ⇒ C ) = a monadisch in C . Ende.$\langle Writer\ w,\mu,\eta\rangle$$(C\Rightarrow C)$$C$

Was ist mit Reader und Cowriter? Der Leser ist an Coreader gebunden, wie in der Definition von Coreader erläutert, siehe Link oben. Ebenso wird Cowriter zum Writer ernannt. Ich habe keine Definition von Cowriter gefunden, also habe ich sie mir analog aus der Tabelle ausgedacht:

{- base, Hackage.category-extras -}
import Control.Comonad
import Data.Monoid
data Cowriter w a = Cowriter (w -> a)
instance Functor (Cowriter w) where
    fmap f (Cowriter g) = Cowriter (f . g)
instance Monoid w => Copointed (Cowriter w) where
    extract (Cowriter g) = g mempty
instance Monoid w => Comonad (Cowriter w) where
    duplicate (Cowriter g) = Cowriter
        (\w' -> Cowriter (\w -> g (w `mappend` w')))

Nachfolgend finden Sie die vereinfachten Definitionen dieser (Co-) Monaden. fr_ob F bezeichnet eine Abbildung eines Funktors F auf Objekte, fr_mor F bezeichnet eine Abbildung eines Funktors F auf Morphismen. Es ist ein Objekt monoid in C .$\langle w,\hat{+},\hat{0}\rangle$$C$

• Schriftsteller
  • $fr\_ob (Writer\ w) a = a\times w$
  • $fr\_mor (Writer\ w) f = \lambda \langle a_0,w_2\rangle. \langle a_0,f\ w_2\rangle$
  • $\eta a = \lambda a_0. \langle a_0, \hat{0} \rangle$
  • $\mu a = \lambda \langle \langle a_0,w_1\rangle,w_0\rangle. \langle a_0, w_0\hat{+}w_1\rangle$
• Leser
  • $fr\_ob (Reader\ r) a = r\to a$
  • $fr\_mor (Reader\ r) f = \lambda g\ r_0. f (g\ r_0)$
  • $\eta a = \lambda a_0\ r_0. a_0$
  • $\mu a = \lambda f\ r_0. f\ r_0\ r_0$
• Coreader
  • $fr\_ob (Coreader\ r) a = r\times a$
  • $fr\_mor (Coreader\ r) f = \lambda \langle r_0,a_0\rangle. \langle f\ r_0,a_0\rangle$
  • $\eta a = \lambda \langle r_0,a_0\rangle. a_0$
  • $\mu a = \lambda \langle r_0,a_0\rangle. \langle r_0,\langle r_0,a_0\rangle\rangle$
• Cowriter
  • $fr\_ob (Cowriter\ w) a = w\to a$
  • $fr\_mor (Cowriter\ w) f = \lambda g\ r_0. f (g\ r_0)$
  • $\eta a = \lambda f. f\ \hat{0}$
  • $\mu a = \lambda f\ w_1 w_0. f (w_0\hat{+}w_1)$

Die Frage ist, dass sich die Adjunktion in auf Funktoren bezieht, nicht auf Monaden. Ich verstehe nicht, wie die Adjunktion impliziert "Coreader ist eine Komonade" → "Reader ist eine Monade" und "Writer ist eine Monade" → "Cowriter ist eine Komonade".$C$$\to$$\to$

Anmerkung. Ich habe Mühe, mehr Kontext bereitzustellen. Es erfordert etwas Arbeit. Insbesondere, wenn Sie kategorische Reinheit benötigen und diese (Co) Monaden für Programmierer eingeführt wurden. Nörgeln Sie weiter! ;)

Ja, wenn eine Monade ein Recht adjoint hat N , dann N erbt automatisch eine comonad Struktur.$M : C \to C$$N$$N$

Die allgemeine kategorietheoretische Einstellung, um dies zu verstehen, lautet wie folgt. Sei und D zwei Kategorien. Schreiben Sie F u n ( C , D ) für die Kategorie der Funktoren von C bis D ; Seine Objekte sind Funktoren und seine Morphismen natürliche Transformationen. Schreiben Sie F u n L ( C , D ) für die vollständige Unterkategorie von F u n ( C , D $C$$D$$\mathrm{Fun}(C, D)$$C$$D$$\mathrm{Fun}^L(C, D)$$\mathrm{Fun}(C, D)$auf den Funktoren, die richtige Adjunkte haben (mit anderen Worten, wir betrachten die Funktoren mit richtigen Adjunkten und willkürlichen natürlichen Transformationen zwischen ihnen). Schreiben F R : D → C für das Recht adjoint einen Funktor F : C → D . Dann ist - R : F u n L ( C , D ) → F u n ( D , C ) ein kontravarianter Funktor: wenn α : F $C \to D$$F^R : D \to C$$F : C \to D$$-^R : \mathrm{Fun}^L(C, D) \to \mathrm{Fun}(D, C)$ ist eine natürliche Transformationdann gibt es eine induzierte natürliche Transformation α R : G R → F R .$\alpha : F \to G$$\alpha^R : G^R \to F^R$

$C = D$$\mathrm{Fun}(C, C)$$\mathrm{Fun}^L(C, D)$$(FG)^R = G^R F^R$$-^R$$-^R$$M$ Mit der Struktur einer Monade erhält man eine Komonade.

Übrigens:

$(\times)$$C$$C$$(\times)$

$\times$$C$

$C$$Cat$

$C \times D$$E^D$$F : D \to E$$C$$D$$E$$C = D = E$

Dies ist jedoch nur ein Sonderfall von:

$\langle F,G,\epsilon,\eta \rangle$$\langle GF, \eta, G\epsilon F\rangle$$\langle FG, \epsilon, F\eta G\rangle$$F$$G$$\mathbf{Set}$$\mathbf{Mon}$).

Was Sie also tun möchten, ist, Reader (oder Writer) zu nehmen und in die zugehörigen Funktoren zu zerlegen, aus denen die Monade und die entsprechende Comonade hervorgehen. Das heißt, die Verbindung zwischen Reader und Coreader (oder Writer und Cowriter) ist nicht die, die Sie suchen.

$-^\ast : \text{hom}({-}\times A, {=}) \cong \text{hom}({-}, {=}^A)$$\forall X,Y.~ \lbrace f : X\times A \to Y \rbrace \cong \lbrace f^\ast : X \to Y^A \rbrace$$-^\ast : \text{hom}({-}\times A, {=}\times 1) \cong \text{hom}({-}^1, {=}^A)$