Täuschung beliebiger symmetrischer Funktionen

Eine Distribution soll -fool eine Funktion wenn . Und es wird gesagt, dass es eine Klasse von Funktionen täuscht, wenn es jede Funktion in dieser Klasse täuscht. Es ist bekannt, dass durch voreingenommene Räume die Klasse der Paritäten über Teilmengen täuschen. (siehe Alon-Goldreich-Hastad-Peralta für einige schöne Konstruktionen solcher Räume). Die Frage, die ich stellen möchte, ist eine Verallgemeinerung auf beliebige symmetrische Funktionen. ϵ f | E x ≤ U ( f ( x ) ) - E x ≤ D ( f ( x ) ) | ≤ ϵ $\mathcal{D}$$\epsilon$$f$$|E_{x\in U}(f(x)) - E_{x\in \mathcal{D}}(f(x))| \leq \epsilon$

$\epsilon$

Frage: Nehmen wir an, wir nehmen die Klasse der willkürlichen symmetrischen Funktionen über eine Teilmenge, haben wir eine Distribution (mit kleiner Unterstützung), die diese Klasse zum Narren hält?

Einige kleine Beobachtungen:

• Es ist ausreichend, exakte Schwellenwerte zu täuschen ( ist 1, wenn und nur wenn genau Einsen unter den Indizes in ). Jede Verbreitung dass -fools genau diese Schwellenwerte täuschen alle symmetrischen Funktionen über Bits. (Dies liegt daran, dass jede symmetrische Funktion als eine echte lineare Kombination dieser exakten Schwellenwerte geschrieben werden kann, wobei die Koeffizienten in der Kombination entweder 0 oder 1 sind. Die Linearität der Erwartung gibt uns dann das, was wir wollen.) Ein ähnliches Argument gilt auch für allgemeine Schwellenwerte. ist genau dann 1, wenn mindestensx k S ε n ε n Th S k ( x ) x $\text{ETh}^S_k(x)$$x$$k$$S$$\epsilon$$n\epsilon$$n$
  
  $\text{Th}^S_k(x)$$x$$k$diejenigen unter den Indizes in )$S$

• Es gibt eine explizite Konstruktion einer Distribution mit Unterstützung für über Nisans PRG für LOGSPACE .$n^{O(\log n)}$

• Beliebige voreingenommene Räume funktionieren nicht. Wenn beispielsweise ist die Menge aller , so dass die Anzahl der Einsen in x nicht Null mod 3, das ist eigentlich -biased für sehr kleine (von einem Ergebnis der Arkadev Chattopadyay ). Dies täuscht jedoch die MOD3-Funktion nicht an.S x ϵ $\epsilon$$S$$x$$\epsilon$$\epsilon$

Ein interessantes Unterproblem könnte folgendes sein: Angenommen, wir wollen nur symmetrische Funktionen über alle n Indizes hinweg täuschen. Haben wir einen schönen Raum? Nach den obigen Beobachtungen müssen wir nur die Schwellenwertfunktionen über Bits täuschen, was nur eine Familie von Funktionen ist. Somit kann man die Verteilung einfach mit Brute-Force bestimmen. Aber gibt es schönere Beispiele für Leerzeichen, die für jedes Narren halten ?n + 1 Th [ n ] k$n$$n+1$$\text{Th}^{[n]}_k$$k$

Ja, eine allgemeine Lösung für dieses Problem wurde kürzlich von Parikshit Gopalan, Raghu Meka, Omer Reingold und David Zuckerman gegeben (siehe Pseudozufallsgeneratoren für kombinatorische Formen) .

Dieses Papier behandelt eine noch allgemeinere Einstellung, bei der der Generator -Bit-Blöcke ausgibt, die dann beliebigen Booleschen Funktionen zugeführt werden, deren Ausgänge dann einer booleschen symmetrischen Funktion zugeführt werden.log m $n$ $\log m$$n$

Eine Vielzahl von Unterfällen war bereits bekannt; siehe zum Beispiel Pseudozufall Bit - Generatoren , die Modular Sums Täuschen , Bounded Independence Fools Halbräume und Pseudozufall Generatoren für Polynomial Schwellwertfunktionen . Der erste behandelt Summen modulo . Der zweite und der dritte behandeln genau die von Ihnen erwähnten Schwellenwerttests. Der Fehler ist jedoch nicht gut genug, um Ihre Argumentation anzuwenden und ein Ergebnis für jede symmetrische Funktion zu erhalten.$p$