Ein planarer Graph ist ein Graph, der in die Ebene eingebettet werden kann, ohne dass sich die Kanten kreuzen.
Sei ein einheitlicher Hypergraph, dh ein Hypergraph, so dass alle seine Hyperkanten die Größe k haben.
Es wurden einige Arbeiten zum Einbetten von Hypergraphen in die Ebene durchgeführt (im Kontext von Clustering oder einer anderen Anwendung), aber häufig können die Daten einfach nicht in die Ebene eingebettet werden. Die Lösung könnte entweder darin bestehen, es mit einigem Verlust zu erzwingen oder es in eine höhere Dimension einzubetten, wie ich hier vorschlage:
Eine natürliche Erweiterung der Planarität (zumindest IMO) ist eine " einfache Einbettung" (gibt es einen anderen bekannten Namen dafür?) Von : eine Einbettung , so dass es Flächen gibt, die alle Eckpunkte jedes Hyperedge verbinden, und diese schneiden sich nur mit den Endpunkten.
(Denken Sie an das Analogon in 2D, bei dem jede Oberfläche eine Kante ist, die Sie nach Belieben zeichnen können.)
Hier ist ein Beispiel für eine gültige 3-einfache Einbettung eines 3-einheitlichen Hypergraphen. (Jeder Scheitelpunkt wird durch die Hyperkanten gefärbt, in denen er enthalten ist, und jede Fläche repräsentiert eine Hyperkante.)
Ein weiteres Beispiel für einen 3-einfachen Graphen ist der vollständige 3-Uniform-Hypergraph auf 5 Eckpunkten . Um dies zu sehen, nehmen Sie einfach 4 Punkte in , die nicht auf einer 2D-Ebene liegen, erstellen Sie eine dreieckige Pyramide (ihre konvexe Hülle) und platzieren Sie den fünften Punkt in der Mitte der Pyramide und verbinden Sie sie mit die anderen Eckpunkte.
In ähnlicher Weise scheint es, dass der vollständige 3-Uniform-Hypergraph auf 6 Eckpunkten keine 3-Einfach-Einbettung aufweist.
Es gibt einige sehr nützliche Eigenschaften von planaren Graphen, die verbesserte Algorithmen für schwierige Probleme ermöglichen, wenn der Graph planar ist. Leider sind die Daten oft nicht planar, obwohl sie manchmal von geringer Dimensionalität sind. Ich denke, dass das Verständnis, welche Eigenschaften planarer Graphen verallgemeinern, uns helfen wird, herauszufinden, welche Algorithmen mit demselben Werkzeug für höhere Dimensionen angepasst werden können.
Ein Beispiel für eine Eigenschaft, die nützlich sein könnte, stammt aus dem Satz von Fáry, der besagt, dass jeder planare Graph so eingebettet werden kann, dass alle seine Kanten gerade Liniensegmente sind.
Gilt Fárys Theorem in einer höheren Dimension? Wenn ein Graph eine einfache Einbettung hat, hat er dann eine Einbettung, in der alle Hyperkanten Hyperebenen sind?
Gibt es andere Eigenschaften, die verallgemeinert werden können? Kann beispielsweise die Euler-Formel für planare Graphen irgendwie auf eine höhere Dimension verallgemeinert werden? (obwohl ich im Moment nicht sicher bin, was das bedeuten würde).