weise unabhängige Wahrscheinlichkeitsräume

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Ich hatte große Schwierigkeiten, eine Referenz zu finden, die Folgendes einfach und unkompliziert erklärt:

Angenommen, wir haben n Zufallsvariablen Y1,,Yn , die jeweils b Bit lang sind. (Dh mit Werten in {0,,2b1} ). Wir wollen einen Wahrscheinlichkeitsraum, in dem jedes Yi unverzerrt ist (nimmt jeden Wert mit einer Wahrscheinlichkeit von genau 2b ) und k Unabhängigkeit hat. Das heißt, für jedes i1<<ik und jedes y1,,yk haben wir

P(Yi1=y1Yik=yk)=2kb

Wenn b=1 , können Sie immer einen Wahrscheinlichkeitsraum der Größe nk und manchmal können Sie nk/2 Gibt es eine klare Aussage darüber, wann diese möglich sind?

Kann mich jemand auf Hinweise verweisen, was passiert, wenn b>1 ?

Vielen Dank

David Harris
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Ich bin nicht sicher, was die Referenz ist, aber die Konstruktion, die ich kenne, ist: Wählen Sie ein zufälliges Polynom über Grad höchstens k - 1 und bewerten Sie es an n Punkten . Dies ergibt einen Probenraum der Größe max { 2 k b , n k } . Ist dies das Ergebnis, nach dem Sie suchen? GF(2max{b,log2n})k1nmax{2kb,nk}
Thomas
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Es gibt eine gute Umfrage zu diesem Thema von Salil Vadhan; Es ist online verfügbar: people.seas.harvard.edu/~salil/pseudorandomness . Kapitel 3 behandelt weise unabhängige Zufallsvariablen. k
Yury

Antworten:

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Für beliebige , Alon, Babai und Itai zeigte eine untere Schranke für die Wahrscheinlichkeitsraum Größe von m ( n , k / 2 ) wobei bm(n,k/2)

m(n,k)=i=0k(ni)

Das ist für die Konstante .Ω(nk/2)k

Sie gaben auch eine Konstruktion der Größe im Fall von .O(nk/2)b=1

Für gibt es eine Arbeit von Karloff und Mansour, die untere und obere Grenzen für beliebige Wahrscheinlichkeiten zeigt, dh für mit . Beispielsweise gibt es Wahrscheinlichkeiten so dass die Wahrscheinlichkeitsraumgröße mindestens beträgt . Sie sagen auch, dass auch eine Obergrenze für beliebige Wahrscheinlichkeiten ist.b=1p1,,pnpi=P(Yi=1)p1,,pnm(n,k)m(n,k)

Ich kenne keine Konstruktion mit einer besseren Obergrenze als die durch die von Thomas als Kommentar erwähnte Konstruktion (siehe hier ) gegeben ist.O(nk)

Marc Bury
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