Welche Diagrammparameter sind NICHT auf zufällige Diagramme konzentriert?

Es ist bekannt, dass viele wichtige Diagrammparameter zumindest in einem gewissen Bereich der Kantenwahrscheinlichkeit eine (starke) Konzentration auf zufällige Diagramme aufweisen. Einige typische Beispiele sind die chromatische Zahl, die maximale Clique, die maximale unabhängige Menge, die maximale Übereinstimmung, die Dominanzzahl, die Anzahl der Kopien eines festen Teilgraphen, der Durchmesser, der maximale Grad, die Auswahlzahl (Listenfarbzahl ), die Lovasz $\theta$ Zahl, die Baumbreite, etc.

Frage: Was sind die Ausnahmen, dh aussagekräftige Diagrammparameter, die sich nicht auf zufällige Diagramme konzentrieren?

Bearbeiten. Eine mögliche Definition der Konzentration ist:

$X_n$ $n$ $\epsilon>0$

lim_{n \to \infty} Pr ((1 - ϵ) E (X_{n}) \leq X_{n} \leq (1 + ϵ) E (X_{n})) = 1.

$\lim_{n\rightarrow\infty}\Pr\big((1-\epsilon)E(X_n)\leq X_n \leq (1+\epsilon)E(X_n)\big)=1.$

X_{n}

$X_n$

p

$p$

lim_{n \to \infty} Pr (⌊ E (X_{n}) ⌋ \leq X_{n} \leq ⌈ E (X_{n}) ⌉) = 1

$\lim_{n\rightarrow\infty}\Pr\big(\lfloor E(X_n)\rfloor\leq X_n \leq \lceil E(X_n)\rceil\big)=1$ Dies ist das kürzestmögliche Intervall (da der Grad eine Ganzzahl ist, der erwartete Wert jedoch möglicherweise nicht).

Anmerkung: Man kann künstliche Ausnahmen von der Konzentrationsregel konstruieren . Zum Beispiel sei , wenn der Graph eine ungerade Anzahl von Kanten hat, und sonst 0. Dies ist eindeutig nicht konzentriert, aber ich würde es nicht als aussagekräftigen Parameter betrachten. $X_n=n$

graph-theory pr.probability random-graphs Andras Farago
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Bitte geben Sie die Definition einer starken Konzentration auf zufällige Graphen an.

Mohammad Al-Turkistany

Wahrscheinlich lautet die Definition "sehr hohe Wahrscheinlichkeit (1-exp), dass sich der Parameter in einem bestimmten (kleinen) Bereich befindet".

Suresh Venkat

@ MohammadAl-Turkistany Ich habe die Frage so bearbeitet, dass sie eine Definition enthält.

Andras Farago

Möglicherweise einfache Binäreigenschaft (en) wie Konnektivität? oder vielleicht ist die Idee, binäre Eigenschaften auszuschließen? Ich denke, dies erfordert möglicherweise eine bessere Analyse des Zufallsgraphenmodells. Bei erdos-renyi- Diagrammen (ist das nicht Ihre Absicht?) durchläuft die Konnektivität selbst ein Schwellenwertphänomen.

vzn

Muss die Konzentration nur erwartungsgemäß erfolgen? Ich denke die Anzahl der Exemplare eines festen Teilgraphen

ist konzentriert, aber nicht um die Erwartung herum, es sei denn,

ist ausgeglichen.

H

$H$

H

$H$

Aravind

Antworten:

Viele Parameter der größten zusammenhängenden Komponente sind für $G(n,p)$ nicht konzentriert wenn $p=1/n$ und allgemeiner, wenn $p$ im kritischen Fenster liegt. Beispiele sind der Durchmesser und die Größe der größten Komponente, die Größe der zweitgrößten Komponente, die Anzahl der Blätter der Komponente usw.

Siehe z

Aldous, David. "Brownsche Exkursionen, kritische Zufallsgraphen und das multiplikative Zusammenwachsen." Die Annalen der Wahrscheinlichkeit (1997): 812-854.

Nachmias, Asaf und Yuval Peres. "Kritische Zufallsgraphen: Durchmesser und Mischzeit." Die Annalen der Wahrscheinlichkeit 36, nein. 4 (2008): 1267 & ndash; 1286.

Addario-Berry, Louigi, Nicolas Broutin und Christina Goldschmidt. "Die Kontinuumsgrenze kritischer Zufallsgraphen." Wahrscheinlichkeitstheorie und verwandte Felder 152, nr. 3-4 (2012): 367 & ndash; 406.

Yuval Peres
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Konzentrationsstörungen treten bei manchen Zählungen auf ( ) und möglicherweise bei vielen auf. $\#\mathsf{P}$

Ein einfaches Beispiel ist die Anzahl der überspannenden Teilgraphen ( ). Die Anzahl der Kanten eines Zufallsgraphen schwankt um sodass die Anzahl der übergreifenden Teilgraphen um einen Faktor von schwankt , weit entfernt von der $2^m$ $\pm \Theta(n)$ $2^{\Theta(n)}$ Faktor , den Sie in Ihrer Konzentrationsdefinition verwenden . $(1+\epsilon)$

Um zu zeigen, dass es sich hierbei nicht um ein isoliertes Beispiel handelt, wird hier ein Argument angeführt (das nicht vollständig streng ist, aber möglicherweise rigoros ausgeführt werden kann), warum Konzentrationsstörungen auch für die Anzahl der Hamilton-Zyklen gelten sollten. Der erwartete Wert dieser Zahl ist eindeutig : jedes der zyklische Folgen von Eckpunkten haben ein $(n-1)!/2^{n+1}$ $(n-1)!/2$ Chance eigentlich ein HamiltonOperatorZyklussein. Mit einem ähnlichen Argument würde das erwartete Ausmaß der Änderung dieser Zahl durch die Einführung einer neuen Kante $1/2^n$ $(n-2)!/2^{n-1}$ um einen linearen Faktor kleiner. Wenn die Anzahl der Hamilton-Zyklen stark konzentriert wäre, würden die meisten Flankenwechsel eine Änderung dieser Zahl verursachen, die nahe an ihrem erwarteten Wert liegt. Aber dann das -Fluktuation in der Anzahl der Flanken eine Fluktuation in der Anzahl der Hamilton-Zyklen verursachen, die proportional zu ihrem erwarteten Wert ist, was der Annahme einer starken Konzentration widerspricht. $\Theta(n)$

Andere plausible Kandidaten für eine Konzentrationsstörung sind die Anzahl der Färbungen (Unterteilung der Scheitelpunkte in unabhängige Mengen), die Anzahl der Übereinstimmungen oder perfekten Übereinstimmungen oder die Anzahl der übergreifenden Bäume.

David Eppstein
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Dies sind in der Tat interessante Beispiele. Anscheinend benötigen sie alle Parameter, die in

exponentiell groß sein können . Ich frage mich, ob es unter denen, die durch ein Polynom der Graphengröße begrenzt sind, einen bedeutsamen nicht konzentrierenden Parameter gibt.

n

$n$

Andras Farago

Es wäre auch von Interesse, natürliche Eigenschaften zu finden, die auch im G (n, m) -Modell von Zufallsgraphen nicht konzentriert sind. diejenigen in dieser Antwort funktionieren nur für G (n, p).

David Eppstein

Davids "Zählargument" -Antworten sind für mich immer so aufschlussreich. : D

Daniel Apon