Tatsächlich ist der Ansatz des CoC aussagekräftiger - er ermöglicht eine willkürliche und aussagekräftige Quantifizierung. Zum Beispiel der Typ ∀ a .a → a kann mit sich selbst instanziiert werden, um ( ∀ a .a → a ) → ( ∀ a .a → a ) , was mit einer Universumshierarchie nicht möglich ist.
Der Grund, warum es nicht weit verbreitet ist, liegt darin, dass eine improvisierte Quantifizierung mit der klassischen Logik nicht vereinbar ist. Wenn Sie es haben, können Sie kein typentheoretisches Modell angeben, in dem Typen auf naive Weise als Mengen interpretiert werden - siehe John Reynolds berühmte Arbeit Polymorphism is Not Set-theoretic .
Da viele Leute die Typentheorie verwenden möchten, um gewöhnliche mathematische Beweise maschinell zu überprüfen, sind sie im Allgemeinen nicht begeistert von typentheoretischen Merkmalen, die mit den üblichen Grundlagen unvereinbar sind. Tatsächlich unterstützte Coq ursprünglich Impredicativity, aber sie haben es stetig aufgegeben.