Zufällige Einschränkungen und die Verbindung zum vollständigen Einfluss von Booleschen Funktionen

Angenommen, wir haben eine Boolesche Funktion und wenden die zufällige Einschränkung auf . Angenommen, der Entscheidungsbaum , der berechnet, schrumpft aufgrund der zufälligen Einschränkung auf die Größe . Bedeutet dies, dass einen sehr geringen Gesamteinfluss hat?δ f T f O ( 1 ) $f:\{-1,1\}^n\rightarrow \{-1,1\}$$\delta$$f$$T$$f$$O(1)$$f$

Claim: Wenn -random Beschränkung f hat Entscheidungsbaum der Größe O ( 1 ) (in Erwartung), dann ist die gesamte Einfluß solcher f ist O ( δ - 1 ) .$\delta$$f$$O(1)$$f$$O(\delta^{-1})$

Pr x , i [ f ( x ) ≤ f ( x + e i ) $Inf(f) = n \cdot \Pr_{x,i}[f(x) \neq f(x+e_i)]$$\Pr_{x,i}[f(x) \neq f(x+e_i)]$i ≤ [ n ] x $\delta$$i \in [n]$$x_i$

Wenn nun die Beschränkung den Entscheidungsbaum von auf die Größe reduziert , dann hängt insbesondere die Beschränkung von von koordiniert ist. Lassen Sie uns nun eine zufällige nicht fixierte Koordinate (unter ) auswählen und alle anderen zufällig fixieren. Da die Beschränkung von von höchstens Koordinaten abhängt , erhalten wir eine Funktion (auf einem Bit), die mit der Wahrscheinlichkeit höchstens nicht konstant ist . Daher ist nach Bedarf.f O ( 1 ) δ f r = O ( 1 ) $\delta$$f$$O(1)$$\delta$$f$$r = O(1)$$\delta n$$\delta$$f$$r$$\frac{r}{\delta n}$$Inf(f) = n \cdot \Pr_{x,i}[f(x) \neq f(x+e_i)] \leq \frac{r}{\delta}$

Bemerkung: Die obige Behauptung ist eng, indem eine Paritätsfunktion für -Bits verwendet wird.$O(1/\delta)$