Langjährige Vermutungen wurden später trivial durch eine Implikation bewiesen

Ich würde gerne wissen, ob es Vermutungen gegeben hat, die in TCS seit langem nicht mehr bewiesen wurden und die später durch eine Implikation aus einem anderen Theorem bewiesen wurden, was möglicherweise einfacher zu beweisen war.

Erdös Pósa und bewiesen , daß für jede ganze Zahl und jeden Graph G entweder G haben disjunkte Zyklen , oder es ist ein Satz von Größe höchstens Scheitel , so dass ein Wald ist. (in ihrem Beweis$k$$G$$G$f ( k ) S ∈ G G ∖ S f ( k ) ∈ O ( k ⋅ log k $k$$f(k)$$S\in G$$G\setminus S$$f(k) \in O(k \cdot \log k)$ ).

Die Erdös- und Pósa-Eigenschaft eines festen Graphen$H$ bekannt als die folgende (keine formale Definition):

Die Klasse von Graphen die Erdös-Pósa-Eigenschaft zu, wenn es eine Funktion , die für jeden Graphen und für jedes und für jeden Graphen entweder gibt es disjunkte isomorphe Kopien (in Moll oder in Unterteilungen) von in oder es gibt eine Menge von Knoten , so dass und keine isomorphe Kopie von hat f H ≤ C k ≤ Z G k H G S ≤ G | S | ≤ f ( k ) G ∖ S $\mathcal{C}$$f$$H\in \mathcal{C}$$k \in \mathbb{Z}$$G$$k$$H$$G$$S\in G$$|S|\le f(k)$$G\setminus S$$H$ .

Nach dem Ergebnis von Erdös und Pósa für eine Klasse von Zyklen, die diese Eigenschaft zulassen, war es eine offene Frage, eine richtige Klasse . In Grafik Moll V wurde bewiesen, dass jede planare Grafik entweder eine begrenzte Baumbreite hat oder ein großes Gitter als Moll enthält. Mit dem Gittersatz zeigten sie, dass die Erdös- und Pósa-Eigenschaft (für Moll) genau dann gilt, wenn ist eine Klasse von planaren Graphen. Das Problem ist jedoch noch offen für eine Unterteilung. Aber der Beweis des Satzes in h-Moll ist irgendwie einfach und meines Wissens gibt es keinen Beweis ohne Verwendung des Gittersatzes.$\mathcal{C}$$\mathcal{C}$

Jüngste Ergebnisse für Digraphen bieten Antworten auf lange offene Fragen im ähnlichen Bereich für Digraphen. zB war eine sehr grundlegende Frage, dass es eine Funktion so dass wir für jeden Graphen und ganze Zahlen entweder eine Menge von höchstens Eckpunkten finden können, so dass hat keinen Zyklus der Länge wenigstens oder es k disjunkte Zyklen der Länge mindestens l in G . Dies ist nur ein Sonderfall, aber für l$f$$G$$k,l$$S\subseteq V(G)$$f(k+l)$$G-S$$l$$k$$l$$G$$l=2$es war als eine Vermutung von Younger bekannt. Zuvor wurde die Vermutung von Younger von Reed et al. Mit einem recht komplizierten Ansatz bewiesen.

Es ist erwähnenswert, dass es in Digraphen immer noch einige nicht triviale Fälle gibt. Beispiel: Theorem 5.6 in der obigen Arbeit ist nur eine positive Erweiterung der Vermutung von Younger auf eine kleine Klasse schwach verbundener Digraphen, aber mit dem Wissen und den mathematischen Werkzeugen, die wir haben, ist es nicht trivial (oder wir kennen vielleicht kein einfaches Argument dafür) ). Vielleicht gibt es einen einfacheren Weg, dies zu beweisen, indem eine bessere Charakterisierung für diese Graphen bereitgestellt wird.

Der Titel der Frage bezieht sich auf "triviale Implikationen", aber der Inhalt spezifiziert diese Kriterien nicht genau, so dass dies eine gemischte Botschaft ist. Ein halbberühmtes Element / Beispiel, das dem allgemeinen Thema nahe kommt, ist der Beweis der (damals etwa vier Jahrzehnte alten) Strong Perfect Graph Conjectureim Jahr 2002 von Maria Chudnovsky, Neil Robertson, Paul Seymour und Robin Thomas. Das Problem der algorithmischen Komplexität der Erkennung perfekter Graphen stellte sich als eng mit der Beweismechanik der starken perfekten Graphen-Vermutung verbunden heraus, obwohl dies vor dem Beweis der Vermutung nicht genau verstanden oder bekannt war. Mit anderen Worten, es gab eine informelle, offene Vermutung, dass "perfekte Graphenerkennung in P" (oder "geringer Komplexität" usw.) relativ schnell gelöst werden kann, indem auf der Analyse / den Eigenschaften / der Mechanik des starken perfekten Graphensatzes aufgebaut wird.

Ein Polynomalgorithmus zur Erkennung perfekter Graphen Gérard Cornuéjols, Xinming Liu, Kristina Vušković 2003