Gibt es Beispiele für praktische Anwendungen von Paritätsspielen, dh Systemen, in der realen Welt, die als Paritätsspiele dargestellt werden können?
In der Regel gibt es in der zugehörigen Dokumentation zu Paritätsspielen kaum ein praktisches Beispiel für diese Anwendung.
lo.logic
two-player-games
kafka
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Antworten:
Hier ist eine etwas andere Anwendung, als Sie vielleicht gedacht haben. Die lineare Programmierung hat viele praktische Anwendungen. Es gibt viele Algorithmen für die lineare Programmierung, und die auf der Simplex-Methode von George Dantzig basierenden gehören zu den am häufigsten implementierten. Ein wichtiger Parameter von Simplex ist die Schwenkregel. Victor Klee und George Minty stellen eine Reihe von Polytopen zur Verfügung, für die die von Dantzig vorgeschlagene Schwenkregel eine exponentielle Anzahl von Schwenkschritten erfordern würde. Seitdem wurden für nahezu jede deterministische Schwenkregel Beispiele für eine exponentielle Untergrenze gefunden.
Simplex kann jedoch randomisierte Schwenkregeln verwenden. Gil Kalai führte 1992 eine randomisierte Pivot-Regel ein und bewies mit dieser Regel eine subexponentielle Obergrenze für Simplex. Ebenfalls 1992 definierten Micha Sharir und Emo Welzl LP-Typ-Probleme, die lineare Standardprogrammierung einschließen, und schlugen mit Jiří Matoušek auch randomisierte Varianten von Simplex vor und bewiesen subexponentielle Obergrenzen für diese Variante. Subexponentielle Untergrenzen wurden auch bei LP-Typ-Problemen entdeckt, aber bis etwa 2010 gab es keine konkreten Beispiele für lineare Programme, mit denen diese Untergrenzen demonstriert werden konnten. Siehe diese beiden Beiträge Auf Gil Kalais Blog finden Sie eine weitere Beschreibung dieser Geschichte, die Verbindung zur Hirsch-Vermutung und Links zur Literatur.
Was hat das alles mit Paritätsspielen zu tun? Zum Einrichten einer Verbindung sind einige Schritte erforderlich. Ein offenes Problem in der Forschung zu Paritätsspielen bestand bis etwa 2009 darin, zu bestimmen, ob bestimmte Algorithmen für die Richtlinieniteration zum Lösen von Paritätsspielen ein exponentielles Verhalten aufweisen. Mehr dazu finden Sie in den Papieren von Marcin Jurdziński . Oliver Friedmann stellte ab 2009 Beispiele für Paritätsspiele vor, bei denen bestimmte Algorithmen für die Richtlinieniteration exponentielle Zeit benötigten. Durch Ausnutzen eines Zusammenhangs zwischen Paritätsspielen und bestimmten LP-Problemen leitete er subexponentielle Untergrenzen für verschiedene Pivot-Regeln für Simplex ab. (Beachten Sie jedoch, dass eines der Ergebnisse, das den Random Facet-Algorithmus betraf, von Oliver Friedmann, Thomas Hansen und Uri Zwick gezeigt wurde falsch sein.)
Ich hoffe, Sie stimmen zu, dass dies ein ziemlich faszinierendes und überzeugendes Beispiel für eine Anwendung von Paritätsspielen ist.
Es gibt auch eine direktere Antwort auf Ihre Frage. Angenommen, man möchte eine diskrete Steuerung entwerfen, die das Verhalten eines physikalischen Systems (Thermostat, Chemiefabrik usw.) auf der Grundlage des Systemzustands und des Umgebungszustands regelt. Die Frage, ob es einen Controller gibt, der die Garantien bietet, die ein Designer wünscht, kann auf die Lösung von Paritätsspielen reduziert werden. Sie können sich also ein Paritätsspiel in Bezug auf Systeme, Umgebungen und Controller vorstellen.
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