Paarweise unabhängige Gaußsche

Wenn $X_1,\ldots,X_k$ (iid Gaußsche Zahl mit Mittelwert $0$ und Varianz $1$ ) gegeben ist, ist es möglich (wie?), (Für $m=k^2$ ) $Y_1, \ldots, Y_m$ so abzutasten dass $Y_i$ paarweise sind unabhängige Gaußsche mit Mittelwert $0$ und Varianz $1$ .

derandomization pr.probability Kaveh
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@Suresh,

E [(X_{i} + X_{j}) (X_{i} + X_{k})] = E [X_{i}^{2}] = 1

$E[(X_i+X_j)(X_i+X_k)] = E[X_i^2] = 1$ also scheint es nicht zu funktionieren.

Kaveh

Ich weiß nicht warum, aber ich finde die MO-Antwort auf diese Frage ziemlich witzig (abgesehen vom Zeiger auf stats.SE): mathoverflow.net/questions/46180/…

Suresh Venkat

Was ich suchte, war so etwas wie lineare Kombinationen (die offensichtlich nicht funktionieren) oder Polynome usw. (die nicht sofort funktionieren), aber ich kann mir keine vernünftige Idee vorstellen, die Shais Antwort auf mathoverflow nicht erfüllt.

Vielleicht solltest du die Frage aktualisieren und auf die Antwort auf MO hinweisen?

Suresh Venkat

Benötigen Sie eine gemeinsame Gauß-Verteilung? Wenn ja, scheint das, was Sie brauchen, unmöglich zu sein, da eine solche Verteilung durch ihre Kovarianzmatrix bestimmt wird und somit die paarweise Unabhängigkeit und die vollständige Unabhängigkeit gleich wären.

MCH

Antworten:

Das Posting auf MathOverflow zeigt, wie man von einer kleinen Anzahl unabhängiger Uniform-Zufallsvariablen [0,1] zu einer größeren Anzahl paarweise unabhängiger Uniform-Zufallsvariablen [0,1] übergeht. Sie können natürlich zwischen Uniform [0,1] und Gauß'sch wechseln, indem Sie die CDF invertieren. Dies erfordert jedoch eine numerische Analyse, da die CDF nicht geschlossen ist.

Es gibt jedoch einen einfacheren Weg von Gauß zu Uniform. Bei zwei unabhängigen Gaußschen ist der Winkel im Bereich gleichmäßig . $X_1, X_2$ $\arctan(X_1/X_2)$ $[0,2 \pi]$

In ähnlicher Weise transformiert die Box-Muller-Methode zwei unabhängige Uniform [0,1] -Variablen in zwei unabhängige Gaußsche Zufallsvariablen.

Mit diesen beiden Transformationen verbrauchen Sie zwei Gaußsche, um eine Uniform zu erstellen, oder zwei Uniformen, um eine Gaußsche zu erstellen. Es gibt also nur einen Faktor von für die Abtasteffizienz. Darüber hinaus ist keine Inversion der normalen cdf erforderlich. $O(1)$

David Harris
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-2

Diese Konstruktion liefert KEINE paarweise unabhängigen Variablen (in der Tat unten), wie von Anindya verlangt, aber es gibt paarweise unkorrelierte Variablen, die ausreichen, um gute Konzentrationsgrenzen für die Summe zu erhalten Chebyshevs Ungleichung (und das ist oft das Endziel). $|Y_{i,j}| = |Y_{i,j'}|$

Für jedes einzelne Paar sei, wobeidie Vorzeichenfunktion ist. Es ist klardass jedeseine normale Variable mitMittelwert 0 und Varianz 1. Um zu sehendass sie orthogonal sind, für, beachtendass $(i,j) \in {[k] \choose 2}$ $Y_{i,j} = |X_i| \cdot \sigma(X_i X_j)$ $\sigma(\cdot)$ $Y_{i,j}$ $(i,j) \neq (i',j')$ das leicht auf 0 überprüft werden kann, indem die verschiedenen Fälle möglicher Gleichungen zwischen .

E [Y_{i, j} Y_{i^{'}, j^{'}}] = E [| X_{i} X_{i^{'}} | \cdot σ (X_{i} X_{i^{'}} X_{j} X_{j^{'}})]

$\mathbb{E}[Y_{i,j}Y_{i',j'}] = \mathbb{E}[|X_i X_{i'}| \cdot \sigma(X_i X_{i'} X_j X_{j'})]$

i, i^{'}, j, j^{'}

$i,i',j,j'$

PS: Eine frühere Version behauptete fälschlicherweise die paarweise Unabhängigkeit.

Arnab
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Ich kann nicht nachvollziehen, warum der Mittelwert von Null Unabhängigkeit implizieren würde.

Tsuyoshi Ito

@ TsuyoshiIto: Deine Kritik war natürlich richtig. Ich habe diese Antwort immer noch offen gelassen, da ich sie interessant finde.

Arnab

Wenn Sie Ihren Beitrag behalten möchten, treffen Sie bitte die erforderlichen Vorsichtsmaßnahmen, um die Leser nicht zu verwirren. Sie können argumentieren, dass die aktuelle Version (Revision 3) Ihres Beitrags nichts Falsches aussagt. Stimmt, aber die Frage stellt etwas, und Ihr Beitrag beantwortet etwas anderes, ohne dies anzugeben. Bitte haben Sie Verständnis dafür, dass dies für die Leser äußerst verwirrend ist.

Tsuyoshi Ito