Ist es sinnvoll, eine Kategorie aller NP-vollständigen Probleme zu betrachten, wobei Morphismen als Mehrfachzeitverkürzungen zwischen verschiedenen Instanzen gelten? Hat jemand jemals eine Veröffentlichung darüber veröffentlicht, und wenn ja, wo finde ich sie?
cc.complexity-theory
np-hardness
ct.category-theory
Paul Allen Grubbs
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Antworten:
Der Bereich, den Sie betrachten möchten, heißt "implizite Komplexitätstheorie". Eine zufällige und unvollständige Handvoll Namen für Google sind Martin Hofmann, Patrick Baillot, Ugo Dal Lago, Simona Ronchi Della Rocca und Kazushige Terui.
Die grundlegende Technik besteht darin, Komplexitätsklassen mit Subsystemen der linearen Logik (der sogenannten "leichten linearen Logik") in Beziehung zu setzen, mit der Idee, dass die Schnitteliminierung für das logische System für die gegebene Komplexitätsklasse vollständig sein sollte (wie LOGSPACE, PTIME usw.). Über Curry-Howard erhält man dann eine Programmiersprache, in der genau die Programme der jeweiligen Klasse zum Ausdruck kommen. Wie Sie es von der Erwähnung der linearen Logik erwarten können, entstehen aus all diesen Systemen monoidal geschlossene Kategorien verschiedener Geschmacksrichtungen, wodurch Sie eine rein algebraische und maschinenunabhängige Charakterisierung verschiedener Komplexitätsklassen erhalten.
Eines der Dinge, die diesen Bereich interessant machen, ist, dass weder traditionelle Komplexität noch logische / PL-Methoden völlig angemessen sind.
Da die beteiligten Kategorien typischerweise geschlossen strukturiert sind, brechen die von Komplexitätstheoretikern favorisierten kombinatorischen Methoden häufig zusammen (da Programme höherer Ordnung dazu neigen, kombinatorischen Charakterisierungen zu widerstehen). Ein typisches Beispiel hierfür ist das Versagen syntaktischer Methoden, um mit der kontextuellen Äquivalenz umzugehen. In ähnlicher Weise haben auch die Methoden der Semantik Probleme, da sie oft zu umfangreich sind (da Semantiker traditionell die interne Struktur von Funktionen verbergen wollten). Das einfachste Beispiel, das ich hier kenne, ist die Schließung von LOGSPACE unter Komposition: Dies ist AFAIK nur aufgrund von Verzahnung und selektiver Neuberechnung möglich, und Sie können die Probleme nicht als reine Blackboxen behandeln.
Wenn Sie sich ernsthaft mit diesem Thema befassen, sollten Sie sich auch mit der Spielesemantik und Girards Geometrie der Interaktion (und deren Vorläufer, Kahn-Plotkin-Berrys konkrete Datenstrukturen) vertraut machen - den Vorstellungen von Token-Passing-Darstellungen von höherwertigen Die in dieser Arbeit verwendeten Auftragsberechnungen liefern einen Großteil der Intuitionen für ICC.
Da ich in dieser Arbeit auf die zentrale Rolle monoidaler Kategorien hingewiesen habe, könnten Sie sich einigermaßen über die Verbindungen zu Mulmuleys GCT wundern. Leider kann ich Ihnen hier nicht helfen, da ich einfach nicht genug weiß. Paul-André Melliès ist vielleicht ein guter Ansprechpartner.
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Es ist möglich, viele Dinge zu kategorisieren, aber das bedeutet nicht unbedingt, dass sie interessante Kategorien sind. Die Antwort auf "Ergibt es Sinn" hängt also davon ab, wie Sie meinen.
Um vorherzusagen, ob es interessant wäre, nehmen Sie eine angemessene Definition von Reduktionen an, sodass sie eine Kategorie, NPC, bilden. Kategorie theoretisch interessante Fragen wären Dinge wie die Frage, ob NPC verschiedene Grenzen oder Grenzen hat (z. B. Produkte, Nebenprodukte, Pullbacks, Pushouts, ...). Bevor Sie sich also der Formalisierung der Dinge widmen, sollten Sie sich setzen und überlegen, was diese Co / Limits bedeuten und ob es interessant wäre, diese Bedeutung zu kennen. Wenn wir annehmen, dass NPC Pullbacks hat, bedeutet dann die Fähigkeit, den Pullback von zwei Reduktionen in Kauf zu nehmen, etwas Besonderes? Fragen wie diese scheinen interessant zu sein, wenn wir herausfinden wollen, was die "atomaren" NP-vollständigen Probleme sind oder wie mehrere NP-vollständige Probleme (oder ihre Reduktionen) kombiniert werden können.
Einige weitere Fragen wären: Hat der NPC interessante Unterkategorien? ist NPC eine Unterkategorie von interessanten größeren Kategorien? Wir wissen bereits viel darüber, wie NP-vollständige Probleme mit anderen Problemklassen zusammenhängen, daher lautet die mutmaßliche Antwort auf diese Fragen "natürlich". Aber um es genauer zu sagen: Was bietet es, wenn man diese Beziehungen aus einer kategorietheoretischen Perspektive betrachtet, die andere Perspektiven nicht bieten? Eine Sache, die CT anbieten könnte, ist die Frage, ob es nicht-triviale Zusammenhänge zwischen NPC und einer anderen Kategorie gibt. Natürlich sind Zusätze vor allem dann interessant, wenn die dahinter stehenden Kategorien selbst interessant sind. Wenn NPC also nicht über viele spezielle Strukturen verfügt, bietet das Wissen über NPC-Zusätze nicht wirklich viel.
Was bestimmte Referenzen angeht, kenne ich keine Offhand, aber die Links in den Kommentaren von Sadeq, Ramprasad, Kaveh sollten einen Ausgangspunkt bieten.
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