Würde ein Beweis unter der Annahme eines physikalischen Gesetzes als ausreichend angesehen?

8

Ich habe mich immer gefragt, ob Beweise in der Informatik als ausreichende Beweise für den Satz angesehen werden, wenn sie physikalische Gesetze annehmen müssen.
Ich frage mich zum Beispiel, was passieren würde, wenn jemand eines Tages P! = NP unter der Annahme des zweiten Hauptsatzes der Thermodynamik beweisen würde. Würde dies die Debatte über P! = NP regeln?
Oder würde das Problem immer noch als ungelöst betrachtet, wenn es auf physikalischen Annahmen beruht?

proofs user541686
quelle
6
Der zweite Hauptsatz der Thermodynamik hat nichts mit P NP zu tun , was eine rein mathematische Frage ist. Das wäre im Wesentlichen so, als würde man sagen, dass die Relativitätstheorie für einen Beweis des Satzes von Pythagoras erforderlich ist. ≠
Peter Shor
@PeterShor: Ich verstehe nicht warum, obwohl es wahrscheinlich daran liegt, dass ich einfach nicht genug weiß, um zu sehen warum. Aber ich habe das Gefühl, intuitiv wäre ich nicht völlig überrascht, wenn es eine Verbindung gäbe. Dies ist offensichtlich rein hypothetisch, aber wenn beispielsweise mit jedem Bit-Flip eine minimale Erhöhung der Entropie verbunden wäre, könnten Sie möglicherweise die Entropieänderung vom Eingang zum Ausgang verwenden, um zu argumentieren, dass eine bestimmte Anzahl von Bits umgedreht worden sein muss würde eine minimale Menge von zB exponentieller Zeit dauern. Oder so ähnlich, ich weiß es nicht. Kommt ein solcher Beweis überhaupt nicht in Frage? (Warum?)
user541686
@Kaveh: Ich habe kein Beispiel, aber hier ist ein mögliches: Ich denke, es ist vernünftig zu fragen, ob ein Axiom wie das Axiom der Wahl "wirklich" in der physischen Welt gilt. Vielleicht ist es das, vielleicht auch nicht; Vielleicht haben wir nie eine Möglichkeit, es zu testen. Aber wir können sicherlich fragen. Und wenn es einen physischen Weg gäbe, um zu beweisen, dass dies der Fall ist (nicht), dann würde dies bedeuten, dass alle darauf basierenden Theoreme in der physischen Welt (un) wahr sind. Wenn ich also akzeptiere, dass das oben Genannte eine gültige Frage ist, dann erfordert es keinen großen Vertrauenssprung, um zu fragen, ob ein solches Axiom zugrunde liegt, beispielsweise P vs. NP.
user541686
6
In Ihrem obigen Kommentar verwechseln Sie meiner Meinung nach zwei verschiedene Dinge: die Verwendung von Ideen, die aus physikalischen Gesetzen in mathematischen Beweisen abgeleitet wurden, und die Verwendung der tatsächlichen Gesetze der Physik in mathematischen Beweisen. Zum Beispiel gibt es viele mathematische Beweise, die die mathematische Definition von Entropie verwenden; Diese mathematische Definition existiert jedoch und ist unabhängig davon nützlich, ob die Gesetze der Thermodynamik in der Physik zutreffen oder nicht. Ein weiteres Beispiel: Wir können den euklidischen Raum in mathematischen Beweisen verwenden, obwohl der tatsächliche physikalische Raum gekrümmt und nicht euklidisch ist.
Peter Shor

Antworten:

7

Es scheint mir zumindest möglich, aber derzeit sehr unwahrscheinlich. Um das Folgende zusammenzufassen: Die aktuelle mathematische Aussage von (sagen wir) P gegen NP ist völlig unabhängig von irgendwelchen Gesetzen der Physik, so dass man neue Berechnungsmodelle beschreiben müsste, die von physikalischen Axiomen abhängen.

Der entscheidende Punkt, den Peter Shor in seinem Kommentar angesprochen hat, ist, dass sich Fragen der CS-Theorie wie P vs NP auf sehr einfache und stilisierte mathematische Modelle beziehen. Sie sind keine Aussagen über die reale Welt. Sie sagen nur "in diesem mathematischen Modell ist ___ wahr".

Heutzutage gibt es oft empirische Gesetze wie die Church-Turing-These, die besagen, dass die reale Welt wie diese mathematischen Modelle handelt. Aber das ist eine Einbahnstraße (das bedeutet nicht, dass mathematische Modelle sich wie die reale Welt verhalten müssen!). Um das Beispiel von Peter Shor zu konkretisieren, benötigt der Satz von Pythagoras nur die Ideen von reellen Zahlen und der euklidischen Ebene / Entfernung. Das Modell ist viel einfacher als die reale Welt und beinhaltet beispielsweise keine Schwerkraft, Elektromagnetismus, Thermodynamik usw. Und selbst wenn der Satz von Pythagoras aufgrund dieser Komplikationen in der Realität manchmal falsch wäre, würde dies seine mathematische Wahrheit nicht beeinflussen.

Ebenso sind das Modell für die Turing-Maschine und die Definitionen von P, NP usw. viel einfacher als die reale Welt. Das Modell beinhaltet keine Dinge wie Schwerkraft, thermodynamische Entropie usw. Die Wahrheit von P vs. NP hängt nicht davon ab, ob die Berechnung in der realen Welt tatsächlich effizient erfolgen kann.

Nun scheint es mir hypothetisch möglich, dass wir in Zukunft engere Verbindungen zwischen Gesetzen der Physik und Gesetzen der Berechnung entdecken könnten. Was würde passieren , ist dann , dass das mathematische Modell der Turing - Maschine würde haben erweitert , um Konto für diese Verbindungen. Man müsste dann neue Definitionen von P und NP für dieses neue Modell formulieren und argumentieren, dass diese "besser" sind als das alte Modell und die Definitionen. Dann könnte man in diesem neuen physikbewussten Modell physikalische Axiome haben, die in Beweisen verwendet werden. Aber das scheint sehr unwahrscheinlich / weit davon entfernt zu sein, zumindest für mich.

usul
quelle
4
Wenn wir Modelle überarbeiten und P und NP ändern, wäre dies nicht mehr das, was wir als "P vs. NP" bezeichnen, sondern eine andere Frage. Wir wissen bereits, dass P in der Praxis nicht gleich effizient berechenbar ist. Der Grund, warum wir P behalten, ist, dass es eine nützliche Vereinfachung ist, nicht dass es die Realität der Berechnung in der Praxis erfasst.
Kaveh
Um fair zu sein, wissen wir auch nicht einmal, ob es unmöglich ist, eine nicht deterministische Drehmaschine zu bauen. Oder eine PostBQP-Maschine. Der seltsame Teil ist, dass wir, wenn wir Dinge über die Rechenmodelle beweisen, die wir erstellen können, Dinge über jene Modelle sagen können, die manche als "wahrer" ansehen, weil sie auf reale Dinge zutreffen. Wir untersuchen aber auch Algorithmen ohne realisierbare Laufzeit oder Rechenmodelle, die in der Praxis niemals realisiert werden können, denn ob die Modelle selbst realisiert werden können oder nicht, hängt davon ab, was wir über sie beweisen können.
Phylliida
5

Ich mag die Frage… aber die Antwort ist immer noch "nein", wie andere Mitwirkende angegeben haben. Die Frage selbst ist metamathematisch, weshalb ich sie mag.

Mathematik und Physik sind verschiedene erkenntnistheoretische Universen, und niemals werden sich die beiden treffen. Ein mathematisches Universum besteht aus 1) Definitionen (wie die ganzen Zahlen) 2) Axiomen und 3) Regeln für die Kontraktion neuer wahrer Aussagen aus bekannten wahren Aussagen (wie Modus Ponens, der vorschreibt, dass A-> B und A zusammen B implizieren). Physische Objekte haben keinen Zugang zu einem solchen Universum.

Das physikalische Universum ist Materie - und wie Schopenhauer sagte, ist Materie Kausalität und Kausalität Materie. Mathematische Objekte und Beweise haben als solche keinen Einfluss auf die physische Welt (obwohl es Auswirkungen von Menschen geben kann, die an mathematische Behauptungen und ihre Beweise glauben). Die Wissenschaft besteht aus Systemen, die beobachtbare Phänomene der physischen Welt mehr oder weniger genau beschreiben. Ich denke, Karl Popper hat diese Erkenntnistheorie am besten in seiner Theorie der empirischen Fälschung festgehalten. Die Wissenschaft verwendet Mathematik in ihren Beschreibungen, aber die Wissenschaft selbst ist nicht die phänomenale Welt.

Naturphänomene müssen unserer Mathematik nicht gehorchen, und unsere Mathematik kann von der physischen Welt nicht als wahr oder falsch bewiesen werden. Aber es ist kein Zufall, dass die Mathematik Aspekte dessen erfasst, was wir beobachten - wir haben es so gemacht. Die phänomenale Welt inspirierte die Definitionen, die das mathematische Universum ausmachen.

Es ist nicht so überraschend, dass diese Frage in der Informatik auftaucht, da der Computer das ultimative physikalische Objekt zur Nachahmung der mathematischen Welt ist .

Gara Pruesse
quelle
2

Ich frage mich zum Beispiel, was passieren würde, wenn jemand eines Tages P! = NP unter der Annahme des zweiten Hauptsatzes der Thermodynamik beweisen würde.

Die Prämisse der Frage ist forschungsorientiert, aber im folgenden Sinne etwas durcheinander / rückwärts. Ein tiefer Zusammenhang zwischen Thermodynamik und CS-Komplexität wurde in der Tat im Bereich der "Spingläser" nachgewiesen, in denen der Prozess des Absetzens magnetischer Orientierungen während des Abkühlens den in SAT gefundenen Phasenübergang genau nachahmt. Dieser Zusammenhang wird weiterhin untersucht und als solcher angesehen sinnvoller als nur zufällig.

In gewissem Sinne scheint die rechnerische "Härte" eine "Erklärung" oder ein grundlegendes mathematisches Modell für einen grundlegenden thermodynamischen Prozess zu sein. Auch die Thermodynamik hat das Verbot gegen Maschinen mit ewiger Energie, kann aber auch als allgemeine Einschränkung gegen Maschinen angesehen werden, die bestimmte "physikalische Geschwindigkeitsbegrenzungen" nicht überschreiten können. wenn P! = NP, dann könnte eine physikalische Maschine, die NP-Probleme in P-Zeit löste, nicht existieren und würde "den Gesetzen der Physik trotzen", nämlich in der "Geschwindigkeit", mit der sie "Informationen manipuliert". Aber viele Physiker kommen zu dem Schluss, dass die Gesetze der Physik offenbar im Wesentlichen auf die Manipulation von Informationen zurückzuführen sind. Kurz gesagt, der Trend geht möglicherweise dahin, dass die Theorie der rechnerischen Komplexität in Zukunft die grundlegenden Gesetze der Thermodynamik besser erklären wird.

Weitere Details siehe zB diese Doktorarbeit (2013):

vzn
quelle