Folge von PIT über

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Gegeben , so dass Koeffizienten p , q ist begrenzt B , ist p q hold ?p(x1,,xn),q(x1,,xn)Z[x1,,xn]p,qBpq

Das Schwartz-Zippel-Lemma gilt hier, da es für allgemeine Felder und und es für dieses Problem einen effizienten randomisierten Algorithmus gibt.ZQ

Wir erwarten eine effiziente Derandomisierung dieses Problems.

Was ist die Folge, wenn dieses Problem keine effiziente Derandomisierung aufweist?

András Salamon
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Wie werden und q gegeben?pq
@ RickyDemer Wie wird es bei regelmäßigen Polynomidentitätstests angegeben?
Sagt das Ergebnis von Kabanets-Impagliazzo nicht, dass wir KEINE effiziente Derandomisierung erwarten?
Suresh Venkat
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Ja. Ich dachte, ich würde das seitdem mit der Standarddarstellung ansprechen, Unterschiedliche Zeichenfolgen stehen für unterschiedliche Elemente.
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@SureshVenkat: Kabanets & Impagliazzo haben verschiedene Dinge bewiesen, darunter: 1. Wenn PIT derandomisiert werden kann, hat NEXP entweder keine polysize (booleschen) Schaltungen oder die permanente hat keine polysize (arithmetische) Schaltungen; 2. Wenn die permanente Schaltung Superpoly-Größe erfordert, kann die PIT "schwach" derandomisiert werden. Da allgemein angenommen wird, dass die Schlussfolgerungen von 1. ebenso gelten wie die Prämisse von 2., würde ich im Gegensatz zu Ihnen sagen, dass das KI-Ergebnis besagt, dass wir eine effiziente Derandomisierung erwarten.
Bruno

Antworten:

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Da PIT in , wenn es keine effiziente Derandomisierung gibt, dann ist PR P (und insbesondere PN P , aber das ist nicht so überraschend, da wir erwarten, dass dies sowieso wahr ist). Dies impliziert natürlich auch, dass PB P P ist , so dass alles, was P = B P P impliziert, falsch wird. Zum Beispiel existieren keine ausreichend starken Pseudozufallszahlengeneratoren und E = D T I M E ( 2 O.coRPPRPPNPPBPPP=BPPhätte Schaltungen mit subexponentieller Größe!E=DTIME(2O(n))

Joshua Grochow
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Dies gilt also unabhängig vom Grundfeld (Koeffizienten in wobei p { 2 , 3 , 5 , 7 , } { } mit einigen Grenzen für Koeffizienten)? Qpp{2,3,5,7,}{}
Wie Sie bereits betont haben, gilt Schwarz-Zippel-DeMillo-Lipton für beliebige Felder, und alles, was benötigt wird, ist eine Grenze für den Grad der Polynome (weder die Größe der Koeffizienten noch die Schaltungsgröße). Mit einer sehr kleinen Anzahl von Ausnahmen bedeutet PIT typischerweise die gradgebundene Version (Grad begrenzt durch ein Polynom in der Anzahl der Variablen).
Joshua Grochow
Kann eine dumme Sache sein. Sie haben die Unabhängigkeit von der Größe der Koeffizienten und der Schaltungsgröße erwähnt. Ich nahm an, dass die Größe vom Grad und der Größe des Koeffizienten abhängt. Liege ich falsch?
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Die Schaltungsgröße kann abhängig von Ihrem Modell von der Größe des Koeffizienten abhängen (das Modell, von dem es abhängt, wird normalerweise als "konstantfrei" bezeichnet). Die Schaltungsgröße hängt nur sehr stark vom Grad ab, in dem Sinne, dass die Größe mindestens log des Grades ist, aber tatsächlich ist der aus SZDL kommende coRP-Algorithmus nur ungefähr Grad. Es kommt nicht einmal darauf an, welche Funktionen als Schaltkreise angegeben werden - nur in einer Form, in der sie leicht ausgewertet werden können ("Black-Box").
Joshua Grochow
Vielen Dank. Es ist ein wenig beunruhigend, dass die Derandomisierung ohne Effizienzverlust durchgeführt werden kann, selbst wenn die Koeffizienten selbst konstruktiv kompliziert sein können
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Sie wundern sich hier über große Probleme. Eine natürliche Zahl kann kanonisch in unärer Notation dargestellt werden, aber diese Darstellung ist ziemlich platzsparend. Sie können es auch in binärer Notation darstellen, was platzsparender, aber nicht mehr kanonisch ist, da Sie auch die Tenar- oder Dezimalschreibweise verwenden können. Beachten Sie jedoch, dass die Darstellung durch Schaltkreise nicht wesentlich weniger effizient ist als die binäre Notation, siehe zum Beispiel

101101 = (((1+1)*(1+1)+1)*(1+1)+1)*(1+1)*(1+1)+1

Beachten Sie, dass (...)*(1+1)dies durch ersetzt werden kann x:=(...) in x+x, sodass Sie hierfür nicht einmal eine Multiplikation benötigen. Aber weil Sie Multiplikation haben, können Sie sogar Zahlen wie effizient darstellen 1011^101101. Beachten Sie auch, dass Sie in dieser Darstellung Zahlen effizient addieren, subtrahieren und multiplizieren können. Diese Darstellung ist jedoch nicht auf Zahlen beschränkt, sondern funktioniert für multivariate Polynomfunktionen sogar genauso. Und für Polynome ist es sogar eine ganz natürliche Darstellung, da Polynome die freie Algebra für kommutative Ringe sind und die Darstellung als Schaltung für jede freie Algebra verwendet werden kann.

Aber lassen Sie uns für einen Moment zu (natürlichen) Zahlen zurückkehren, Zahlen wie . NJ Wildberger hat einige ultrafinitistische Rants geschrieben, zum Beispiel Set Theory: Solltest du glauben? . Im Abschnitt Aber was ist mit den natürlichen Zahlen? Die Existenz von Zahlen wie c ist zugegeben, weil man sie offensichtlich aufschreiben kann. Aber die Existenz fast aller natürlichen Zahlen zwischen 0 und cc=1010101010c0cwird abgelehnt, weil die meisten dieser Zahlen mehr Informationen enthalten würden, als das physikalische Universum möglicherweise darstellen könnte. Der Großteil des Geschwätzes brachte mich nur zum Lachen, aber dieser Punkt brachte mich zum Nachdenken. Philosophen wie Willard Van Orman Quine haben gegen die Behauptung der Existenz nicht realisierter Möglichkeiten protestiert, unter anderem, weil diese zu ungeordneten Elementen führen, von denen nicht sinnvoll gesagt werden kann, dass sie mit sich selbst identisch und voneinander verschieden sind. Daher fand ich es durchaus vernünftig, mich über Zahlenpräsentationen zu wundern, für die noch Addition, Subtraktion und Multiplikation durchgeführt werden, und zumindest sinnvoll zu bestimmen, ob zwei Zahlen voneinander verschieden sind. Die Schaltungsdarstellung erreicht dies ...

Zurück zu Polynomen und Schaltungsdarstellungen freier Algebren. Hier sind einige große Fragen:


  • n4n
  • Gibt es eine freie Algebra, für die effiziente deterministische Identitätstests allgemein angenommene Vermutungen wie P! = NP ungültig machen würden?
    -> Ja, die Identitätsprüfung für die freie Algebra für reguläre kommutative Ringe ist NP-vollständig. Ich habe das schon lange nicht mehr bemerkt, siehe unten ...
  • Z[x1,,xn]

Ich wundere mich besonders über die freie Algebra für reguläre kommutative Ringe hier (dh Ringe mit einer verallgemeinerten inversen Operation), da sie die Darstellung rationaler Zahlen und rationaler Funktionen ermöglichen würden. Wenn wir diese Darstellung nur für Zahlen verwendet hätten, hätten wir uns möglicherweise gefragt, ob wir a < bdiese Darstellung effizient testen können. Diese Frage ist für den freien kommutativen Ring nicht sinnvoll, könnte aber für Polynome sinnvoll sein, wenn wir sie im Kontext freier, teilweise geordneter Ringe interpretieren. Aber ein teilweise geordneter Ring ist nur eine relationale Struktur anstelle einer Algebra, also ist dies eine andere Art von Frage ...


Das Schwartz-Zippel-Lemma gilt hier, da es für allgemeine Felder und Z ⊂ Q giltZQ

((33+3)3+x)3((22+5)3+x)2xn72n/253n/3ZB=exp(exp(n))O(logB)


Z[x1,,xn]

Andererseits glaube ich auch, dass Sie einfach jeden vernünftigen Pseudozufallszahlengenerator verwenden und damit PIT für alle praktischen Zwecke entscheiden können, wenn Sie nur lange genug testen. Ich glaube nur, dass Sie den verbleibenden (infinitesimal kleinen) Zweifel, ähnlich wie bei Maßzahlen Null, die ärgerlich bleiben, wenn Sie nicht leer sind, niemals loswerden können.

Thomas Klimpel
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P!=NP
Ich denke nur an ein Problem mit der freien Algebra, aber nicht an das, woran Sie denken