Folge von PIT über

Gegeben , so dass Koeffizienten p , q ist begrenzt B , ist p ≡ q hold ?$p(x_1,\dots,x_n),q(x_1,\dots,x_n)\in \Bbb Z[x_1,\dots,x_n]$$p,q$$B$$p\equiv q$

Das Schwartz-Zippel-Lemma gilt hier, da es für allgemeine Felder und und es für dieses Problem einen effizienten randomisierten Algorithmus gibt.$\Bbb Z\subset\Bbb Q$

Wir erwarten eine effiziente Derandomisierung dieses Problems.

Was ist die Folge, wenn dieses Problem keine effiziente Derandomisierung aufweist?

Da PIT in , wenn es keine effiziente Derandomisierung gibt, dann ist P ≠ R P (und insbesondere P ≠ N P , aber das ist nicht so überraschend, da wir erwarten, dass dies sowieso wahr ist). Dies impliziert natürlich auch, dass P ≠ B P P ist , so dass alles, was P = B P P impliziert, falsch wird. Zum Beispiel existieren keine ausreichend starken Pseudozufallszahlengeneratoren und E = D T I M E ( 2 $\mathsf{coRP}$$\mathsf{P} \neq \mathsf{RP}$$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$$\mathsf{P} \neq \mathsf{BPP}$$\mathsf{P} = \mathsf{BPP}$hätte Schaltungen mit subexponentieller Größe!$\mathsf{E} = \mathsf{DTIME}(2^{O(n)})$

Sie wundern sich hier über große Probleme. Eine natürliche Zahl kann kanonisch in unärer Notation dargestellt werden, aber diese Darstellung ist ziemlich platzsparend. Sie können es auch in binärer Notation darstellen, was platzsparender, aber nicht mehr kanonisch ist, da Sie auch die Tenar- oder Dezimalschreibweise verwenden können. Beachten Sie jedoch, dass die Darstellung durch Schaltkreise nicht wesentlich weniger effizient ist als die binäre Notation, siehe zum Beispiel

101101 = (((1+1)*(1+1)+1)*(1+1)+1)*(1+1)*(1+1)+1

Beachten Sie, dass (...)*(1+1)dies durch ersetzt werden kann x:=(...) in x+x, sodass Sie hierfür nicht einmal eine Multiplikation benötigen. Aber weil Sie Multiplikation haben, können Sie sogar Zahlen wie effizient darstellen 1011^101101. Beachten Sie auch, dass Sie in dieser Darstellung Zahlen effizient addieren, subtrahieren und multiplizieren können. Diese Darstellung ist jedoch nicht auf Zahlen beschränkt, sondern funktioniert für multivariate Polynomfunktionen sogar genauso. Und für Polynome ist es sogar eine ganz natürliche Darstellung, da Polynome die freie Algebra für kommutative Ringe sind und die Darstellung als Schaltung für jede freie Algebra verwendet werden kann.

Aber lassen Sie uns für einen Moment zu (natürlichen) Zahlen zurückkehren, Zahlen wie . NJ Wildberger hat einige ultrafinitistische Rants geschrieben, zum Beispiel Set Theory: Solltest du glauben? . Im Abschnitt Aber was ist mit den natürlichen Zahlen? Die Existenz von Zahlen wie c ist zugegeben, weil man sie offensichtlich aufschreiben kann. Aber die Existenz fast aller natürlichen Zahlen zwischen 0 und $c=10^{10^{10^{10^{10}}}}$$c$$0$$c$wird abgelehnt, weil die meisten dieser Zahlen mehr Informationen enthalten würden, als das physikalische Universum möglicherweise darstellen könnte. Der Großteil des Geschwätzes brachte mich nur zum Lachen, aber dieser Punkt brachte mich zum Nachdenken. Philosophen wie Willard Van Orman Quine haben gegen die Behauptung der Existenz nicht realisierter Möglichkeiten protestiert, unter anderem, weil diese zu ungeordneten Elementen führen, von denen nicht sinnvoll gesagt werden kann, dass sie mit sich selbst identisch und voneinander verschieden sind. Daher fand ich es durchaus vernünftig, mich über Zahlenpräsentationen zu wundern, für die noch Addition, Subtraktion und Multiplikation durchgeführt werden, und zumindest sinnvoll zu bestimmen, ob zwei Zahlen voneinander verschieden sind. Die Schaltungsdarstellung erreicht dies ...

Zurück zu Polynomen und Schaltungsdarstellungen freier Algebren. Hier sind einige große Fragen:

• 
  $n\geq 4$$n$
• Gibt es eine freie Algebra, für die effiziente deterministische Identitätstests allgemein angenommene Vermutungen wie P! = NP ungültig machen würden?
  -> Ja, die Identitätsprüfung für die freie Algebra für reguläre kommutative Ringe ist NP-vollständig. Ich habe das schon lange nicht mehr bemerkt, siehe unten ...
• $\Bbb Z[x_1,\dots,x_n]$

Ich wundere mich besonders über die freie Algebra für reguläre kommutative Ringe hier (dh Ringe mit einer verallgemeinerten inversen Operation), da sie die Darstellung rationaler Zahlen und rationaler Funktionen ermöglichen würden. Wenn wir diese Darstellung nur für Zahlen verwendet hätten, hätten wir uns möglicherweise gefragt, ob wir a < bdiese Darstellung effizient testen können. Diese Frage ist für den freien kommutativen Ring nicht sinnvoll, könnte aber für Polynome sinnvoll sein, wenn wir sie im Kontext freier, teilweise geordneter Ringe interpretieren. Aber ein teilweise geordneter Ring ist nur eine relationale Struktur anstelle einer Algebra, also ist dies eine andere Art von Frage ...

Das Schwartz-Zippel-Lemma gilt hier, da es für allgemeine Felder und Z ⊂ Q gilt$\Bbb Z\subset\Bbb Q$

$((3^3+3)^3+x)^3-((2^2+5)^3+x)^2x$$n$$7^{2^{n/2}}$$5^{3^{n/3}}$$\mathbb Z$$B=\exp(\exp(n))$$O(\log B)$

$\Bbb Z[x_1,\dots,x_n]$

Andererseits glaube ich auch, dass Sie einfach jeden vernünftigen Pseudozufallszahlengenerator verwenden und damit PIT für alle praktischen Zwecke entscheiden können, wenn Sie nur lange genug testen. Ich glaube nur, dass Sie den verbleibenden (infinitesimal kleinen) Zweifel, ähnlich wie bei Maßzahlen Null, die ärgerlich bleiben, wenn Sie nicht leer sind, niemals loswerden können.