Auswertung symmetrischer Polynome

Sei ein symmetrisches Polynom , dh ein Polynom, so dass für alle und alle Permutationen . Der Einfachheit halber können wir annehmen, dass ein endliches Feld ist, um zu vermeiden, dass Probleme mit dem Berechnungsmodell behoben werden.$f:\mathbb{K}^n \to \mathbb{K}$$f(x)=f(\sigma(x))$$x \in \mathbb{K}^n$$\sigma \in S_n$$\mathbb{K}$

Lassen die Komplexität der Berechnung bezeichnen , das heißt, die Komplexität eines Algorithmus, der gegebenen , kehrt . Können wir irgendwie anhand der Eigenschaften von charakterisieren ? Ist uns beispielsweise garantiert, dass ) für alle symmetrischen Polynome Polynom (in ) ist ?$C(f)$$f$$x$$f(x)$$C(f)$$f$$C(f)$$n$$f$

Als Spezialfall, es sieht aus wie (a) wir die Berechnung können Leistungssummen - Polynomen in Zeit , und (b) können wir die Berechnung können elementare symmetrische Polynome zeitlich , unter Verwendung von Newtons Identitäten . Wenn eine gewichtete Summe von Monomen ist, bei der keine Variable auf eine Potenz höher als 1 angehoben wird (dh wenn mehrlinig ist), kann folglich in Polynomzeit berechnet werden (da es als gewichtete Summe ausgedrückt werden kann von elementaren symmetrischen Polynomen). Zum Beispiel, wenn$\text{poly}(n)$$\text{poly}(n)$$f$$f$$f$$\mathbb{K}=GF(2)$dann kann jedes symmetrische Polynom in Polynomzeit berechnet werden. Kann man mehr als das sagen?

Die Frage scheint ziemlich offen zu sein. Oder möchten Sie die zeitliche Komplexität eines möglichen symmetrischen Polynoms über endliche Felder genau charakterisieren?

Zumindest meines Wissens gibt es auf jeden Fall einige bekannte Ergebnisse zur zeitlichen Komplexität der Berechnung symmetrischer Polynome:

1. $f$$TC^0$

2. $f$$0$$TC^0$

3. $f$$f$$TC^0$

Wahrscheinlich sind bekanntere Ergebnisse zur zeitlichen Komplexität des symmetrischen Polynoms ...