Referenz für eine Klasse von Diagrammen, bei denen die Abstände der Teilgraphen bei der Bestellung beibehalten werden

12

Nehmen wir an , dass ein Graph die Eigenschaft hat , , wenn seine Ecken bestellt werden können in einer solchen Weise , dass der Graph durch den Scheitel induziert hat $G$ $M$ $v_1, v_2, \ldots v_n$ $H_i$ $\{v_1, \ldots, v_i\}$ $dist_{H_i} (v_j, v_k) = dist_G(v_j, v_k)$ für alle . Mit anderen Worten, das Hinzufügen des nächsten Scheitelpunkts in unserer Reihenfolge hat keinen Einfluss auf die Abstandsmetrik des aktuellen Diagramms. $j,k \leq i$

Ein Beispiel für einen solchen Graphen ist das reguläre Gitter. $n \times n$

Hat diese Eigenschaft oder Klasse von Diagrammen einen Namen? Wurden sie untersucht?

reference-request graph-theory mich
quelle

Ein einfaches Beispiel für einen Graphen ohne diese Eigenschaft ist der

Zyklus für

. Dies liegt daran, dass für jede Bestellung, die Subgraphen

verbunden werden muß, und so zum Zeitpunkt

,

ist eine Linie der Länge

, und so etwa zwei Eckpunkte distance

k

$k$

k \geq 5

$k \ge 5$

H_{i}

$H_i$

i = ⌊ k / 2 ⌋ + 2 < k

$i = \lfloor k/2 \rfloor +2 < k$

H_{i}

$H_i$

i - 1

$i-1$

i - 1 > ⌊ k / 2 ⌋

$i-1 > \lfloor k/2 \rfloor$ auseinander.

Andrew Morgan

Andererseits besteht ein natürlicher Kandidat für das Finden einer guten Ordnung

darin, ein BFS aus einer willkürlichen Wahl von

durchzuführen . Wenn man

als BFS-Baum mit einigen zusätzlichen Kanten betrachtet, scheint es das einzige Hindernis für die Eigenschaft

zu sein, dass es in

so etwas wie einen

Zyklus für

. Mit "wie" meine ich, es gibt einen

Zyklus

v_{1}, \dots, v_{n}

$v_1, \ldots, v_n$

v_{1}

$v_1$

G

$G$

M

$M$

k

$k$

k \geq 5

$k \ge 5$

G

$G$

k

$k$

v_{1}, \dots, v_{k}, v_{k + 1} = v_{1}

$v_1, \ldots, v_k, v_{k+1}=v_1$ mit

so dass

in

. Wenn wir einen solchen Zyklus "minimal" nennen, ist es dann wahr, dass die Eigenschaft

der Nichtexistenz von minimalen Zyklen mit einer Länge von mindestens 5 äquivalent ist?

k \geq 5

$k \ge 5$

d (v_{i}, v_{j}) = | i - j |

$d(v_i,v_j) = |i-j|$

G

$G$

M

$M$

Andrew Morgan

1

k

$k$

8

Sie scheinen nach Graphen zu fragen, die eine abstandserhaltende Eliminierungsreihenfolge zulassen, die eine Klasse von Graphen bildet, die in diesem Artikel untersucht wurden:

http://epubs.siam.org/doi/abs/10.1137/S0895480195291230?journalCode=sjdmec

JimN
quelle

2

Auch frei verfügbar auf der Website des Autors: lif-sud.univ-mrs.fr/%7Echepoi/dpo.ps

Florent Foucaud

8

Ich habe keine Antwort auf Ihre gesamte Klasse von Diagrammen, aber drei Unterklassen von Diagrammen mit dieser Eigenschaft sind die abstandsvererbten Diagramme , Akkorddiagramme und Median-Diagramme .

Entfernungshereditäre Graphen werden durch die Eigenschaft definiert, dass jeder verbundene induzierte Subgraph die gleichen Entfernungen aufweist. Sie können also einen beliebigen Startscheitelpunkt auswählen $v_1$ und dann wähle jeden aufeinanderfolgenden Scheitelpunkt als jeden nicht bereits ausgewählten Scheitelpunkt, der an einen zuvor ausgewählten Scheitelpunkt angrenzt.

Die Akkorddiagramme sind Diagramme mit einer Reihenfolge mit der Eigenschaft, dass jeder nachfolgende Scheitelpunkt beim Hinzufügen eine Clique für seine Nachbarn hat. Diese Anordnung ist offensichtlich abstandserhaltend.

In ähnlicher Weise haben Median-Graphen (einschließlich Ihres Raster-Beispiels) die Eigenschaft, dass für jede Breitensortierung jeder Scheitelpunkt zum Zeitpunkt des Hinzufügens eine Hypercube-Nachbarschaft hat. (Siehe Seiten 76–77 von Eppstein et al., "Media Theory", Springer, 2008). Auch diese Eigenschaft bedeutet, dass der Zusatz die Abstände zwischen den vorherigen Scheitelpunkten nicht ändern kann.

Es gibt eine Klasse von Graphen, für die ich keinen Namen kenne. Sie verallgemeinern sowohl akkordische als auch entfernungserbliche Graphen, die in polynomieller Zeit erkannt werden können und die Ihre Eigenschaft haben. Dies sind die verbundenen Graphen, die aus einem einzelnen Scheitelpunkt aufgebaut werden können, indem nacheinander Scheitelpunkte hinzugefügt werden, wobei die Nachbarn jedes neuen Scheitelpunkts eine Teilmenge einer der geschlossenen Nachbarschaften des vorherigen Graphen sind. Sie sind fast (aber nicht ganz) die gleichen wie die zerlegbaren GraphenDer Unterschied besteht darin, dass der neue Scheitelpunkt nicht an den Scheitelpunkt angrenzen muss, dessen Nachbarschaft kopiert wird. Eine Eliminierungsreihenfolge eines Akkordgraphen ist eine Konstruktion dieses Typs, bei der jeder neue Scheitelpunkt eine Cliquenteilmenge einer Nachbarschaft auswählt. In ähnlicher Weise haben entfernungserbliche Graphen eine Konstruktion dieses Typs, bei der die Nachbarn jedes neuen Scheitelpunkts eine gesamte geschlossene Nachbarschaft, eine offene Nachbarschaft oder einen einzelnen Scheitelpunkt sind. Jeder neue Scheitelpunkt kann die Abstände der vorherigen Scheitelpunkte nicht ändern, daher verfügt diese Konstruktionssequenz über die Eigenschaft, nach der Sie suchen.

Wenn Sie einen Scheitelpunkt v als "entfernbar" definieren, wenn es der letzte in dieser Sequenz sein könnte (er hat eine offene Nachbarschaft, die eine Teilmenge der geschlossenen Nachbarschaft eines anderen ist), ändert das Entfernen anderer entfernbarer Scheitelpunkte nichts an der Entfernbarkeit von v : Wenn die Nachbarschaft von v eine Teilmenge von u ist und wir entfernen u als eine Nachbarschaft, die eine Teilmenge von w ist, dann ist v immer noch entfernbar, weil seine Nachbarschaft immer noch eine Teilmenge von w ist. Daher bilden die Abfolgen von Entfernungsschritten, denen wir folgen können, um ein Diagramm wieder auf Null zu stellen, ein Antimatroidund eine solche Sequenz kann in der Polynomzeit durch einen gierigen Algorithmus gefunden werden, der wiederholt einen entfernbaren Scheitelpunkt entfernt, wann immer er einen finden kann. Wenn Sie die Ausgabe dieses Algorithmus umkehren, erhalten Sie die Konstruktionssequenz für das angegebene Diagramm. Das Diagramm des Würfels zeigt ein Beispiel eines Diagramms, das Ihre Eigenschaft hat (ein Median-Diagramm), aber auf diese Weise nicht konstruierbar ist. Ich denke, die Mediangraphen, die auf diese Weise erstellt werden können, sind genau die Quadrate (einschließlich der regulären Gitter). Die Graphen, die eine Konstruktionssequenz dieses Typs haben, umfassen auch alle Graphen, die einen universellen Scheitelpunkt haben, wie beispielsweise die Radgraphen , so dass sie (im Gegensatz zu Akkordgraphen und abstandsvererbten Graphen) nicht perfekt und unter induzierten Teilgraphen nicht geschlossen sind.

David Eppstein
quelle

Die Eigenschaft dieser Klasse von Diagrammen, bei der Sie sich nicht sicher sind, erinnert an eine Anordnung zur Beseitigung der Vorherrschaft. Dieses Papier scheint für die ursprüngliche Frage relevant zu sein: epubs.siam.org/doi/abs/10.1137/…

JimN

Ich denke, die Reihenfolge der Dominatlon-Eliminierung kann mit der Dlsmantlability identisch sein. Sie sollten dieses Papier jedoch mit einer tatsächlichen Antwort verknüpfen, da es genau das zu sein scheint, was die ursprüngliche Frage verlangt.

David Eppstein

Referenz für eine Klasse von Diagrammen, bei denen die Abstände der Teilgraphen bei der Bestellung beibehalten werden

Antworten: