Betrachten Sie ein gewichtetes Diagramm mit einigen roten Rändern. Wir sind daran interessiert, eine perfekte Übereinstimmung zu finden, so dass die Anzahl der roten Kanten gerade ist und unter den vorherigen Einschränkungen das Gewicht minimiert wird.
Ist dieses Problem in Polynomzeit lösbar? Auch für zweigeteilte Graphen?
Was ist mit einer natürlichen Erweiterung? Der Fall, in dem es eine konstante Anzahl von Farben gibt und die Anzahl der Kanten jeder Farbe in der Übereinstimmung gerade sein muss.
Das Problem ist die lösbare Polynomzeit.
Nach einer Diskussion mit Vivek Madan können wir zeigen, dass der Beweis von Satz 5.1 in Perfect Matching in Bipartite Planar Graphs in UL auch im gewichteten Kontext funktioniert (das Ergebnis ist die Entscheidung, ob es eine praktikable Lösung gibt).
Das Problem reduziert sich darauf, einen Wechselzyklus zu finden, der eine ungerade Anzahl roter Kanten enthält.
Bei zweigeteilten Graphen ist das Problem einfach, da es auf das Finden eines ungeraden Zyklus mit minimalem Gewicht in einem gerichteten Graphen ohne negative Zyklen reduziert werden kann. Was in der Polynomzeit durch verschiedene Berichte lösbar zu sein scheint (aber ich kann kein konkretes Zitat finden). Ein Floyd-Warshall-ähnlicher Algorithmus ist ausreichend.
Für allgemeine Diagramme funktioniert ein ähnlicher Ansatz, die Reduzierung ist jedoch etwas komplizierter.Wir wissen eigentlich nicht, wie wir das für allgemeine Grafiken machen sollen.Beachten Sie, dass der Fall eines zweigliedrigen Graphen tatsächlich aus einem allgemeineren Satz folgt. Hier zitieren wir direkt das folgende Problem von Artmann, Weismantel, Zenklusen 17
Die Paritäts-TU-Optimierung kann in Polynomzeit gelöst werden, und der zweigliedrige Fall unseres Problems reduziert sich darauf. (Beachten Sie, dass der leicht erfüllt werden kann, indem für alle erforderlich ist .)rank(T)=n xi≥0 i
Wir haben keine Ahnung, in welchem Fall eine konstante Anzahl von Farben vorliegt.
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