Können wir entscheiden, ob eine bleibende Karte eine eindeutige Laufzeit hat?

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Angenommen, wir erhalten eine nxn-Matrix M mit ganzzahligen Einträgen. Können wir in P entscheiden, ob es eine Permutation so dass wir für alle Permutationen ?σπσΠMiσ(i)ΠMichπ(ich)

Bemerkungen. Man kann das Produkt natürlich durch eine Summe ersetzen, das Problem bleibt gleich.

Wenn die Matrix nur 0/1 Einträge haben kann, dann bekommen wir das Bipartite-UPM-Problem, das sogar in NC ist.

Bearbeiten: Die Entscheidung, ob der kleinste Begriff eindeutig ist, ist NP-schwer, wenn wir randomisierte Reduktionen zulassen. Eigentlich wollte ich diese Frage stellen, weil sie zur Lösung dieser Frage beigetragen hätte . Nun stellte sich heraus, dass dies NP-vollständig ist, also lassen Sie mich die Reduktion auf unser Problem skizzieren. Stellen Sie sich vor, die Eingabe ist eine Null-Eins-Matrix (wir können das annehmen) und ersetzen Sie die Null-Einträge durch zufällige reelle Zahlen zwischen 2 und 2 + 1 / n. Nun ist in dieser neuen Matrix mit hoher Wahrscheinlichkeit der kleinste Term genau dann eindeutig, wenn die ursprüngliche Matrix für die Form des oberen Dreiecks durchlässig ist.

Bearbeiten: Ähnliche Fragen:

Gibt es in einem kantengewichteten Graphen einen Hamilton-Zyklus mit einer eindeutigen Gewichtung?

Wenn wir einen CNF mit Gewichten haben, die jeder Variablen / befriedigenden Zuweisung zugewiesen sind, gibt es dann eine eindeutige gewichtsbefriedigende Zuweisung?

Diese sind natürlich mindestens NP-hart. Entsprechen diese Probleme dem Original oder sind sie schwerer?

domotorp
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Wissen wir, ob dieses Problem auch im NP vorliegt? Ich habe Schwierigkeiten, ein Zertifikat zu erstellen.
mhum
Σ2P

Antworten:

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Nettes Problem! Es ist nicht schwer, eine Reduktion zu geben, die zeigt, dass man, wenn man das Problem lösen könnte, auch das folgende Problem lösen könnte: ISOLATED SUBSET SUM:

Gegebene ganze Zahlen a 1 , ..., a n , gibt es eine Teilmenge S von a i , deren Summe von keiner anderen Teilmenge geteilt wird?

Die Reduktion funktioniert, indem zuerst die ISOLATED SUBSET SUM auf ISOLATED PERFECT MATCHING reduziert wird. Wenn ein gewichteter zweigliedriger Graph G gegeben ist, möchten wir eine perfekte Übereinstimmung finden, deren Gewicht von keiner anderen perfekten Übereinstimmung geteilt wird. Diese Reduktion ist einfach: Erstellen Sie für jedes i einen 2 × 2-vollständigen Teilgraphen G i in G, so dass die für G i gewählte der beiden möglichen Übereinstimmungen unsere Wahl codiert, ob ein i in der Menge S enthalten ist oder nicht .

Reduzieren Sie als Nächstes ISOLATED PERFECT MATCHING wie folgt auf Ihr Problem:

  1. Für alle i, j, wenn die Kante (i, j) existiert und das Gewicht w ij hat , dann setze M ij : = exp (w ij ). (Dies macht die Summen zu Produkten.)
  2. Für alle i, j, wenn die Kante (i, j) nicht existiert, dann setze M ij : = 0.
  3. Fülle M auf, um sicherzustellen, dass es zwei oder mehr Permutationen π gibt, so dass Π M i, π (i) = 0. (Dies schließt falsche Lösungen aus, die keiner perfekten Übereinstimmung in G entsprechen.)

Jetzt fühlt sich ISOLATED SUBSET SUM mit Sicherheit mindestens NP-hart an, und vielleicht ist es sogar noch schwieriger (die offensichtliche Obergrenze ist nur Σ 2 P)! Darüber hinaus könnte man vielleicht mit einer randomisierten Reduktion nach Valiant-Vazirani-Art beweisen, dass ISOLATED SUBSET SUM NP-hart ist. Dies ist jedoch eine Herausforderung, die ich jemand anderem überlasse ...

Scott Aaronson
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Ja, diese sind gleichwertig. In der Tat, wenn Sie das offene Problem überprüfen, das ich zu lösen versuche, können Sie sehen, dass ich vom ISOLATED PERFECT MATCHING-Problem komme. Vielleicht könnte man eine Reduzierung des Frobenius-Münzen-Problems finden.
Domotorp
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Duhhh ... Andy Drucker wies hilfsbereit darauf hin, dass mein ISOLATED SUBSET SUM-Problem trivial zu lösen ist! Wenn einige der a_i's 0 sind, gibt es keine eindeutige Summe. Ansonsten nimm die Menge aller a_is, die dasselbe Vorzeichen haben (entweder positiv oder negativ). Daher sollten wir uns auf ISOLATED PERFECT MATCHING konzentrieren.
Scott Aaronson