Anwendungen der algebraischen Geometrie in der Typentheorie / Programmiersprachentheorie

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In letzter Zeit habe ich mich für algebraische Geometrie interessiert und angefangen, darüber zu lesen. Ich weiß immer noch sehr wenig über dieses Gebiet, aber ich möchte wissen, ob es irgendeinen Zusammenhang mit meinem Hauptgebiet, der Typentheorie und den Programmiersprachen hat.

Ich weiß, dass die algebraische Topologie viele Anwendungen in der Typentheorie hat (Homotopietypentheorie und viele mehr), aber was ist mit der algebraischen Geometrie, abgesehen davon, dass sowohl die Typentheorie / PL-Theorie als auch die AG gute Motivatoren der Kategorietheorie sind?

xrq
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Dies ist keine Antwort auf Ihre Frage, aber die algebraische Topologie wird auch in der Parallelitätstheorie angewendet. Werfen Sie einen Blick auf Directed Homotopy und es gibt auch einen Artikel auf der Fossacs 2019 darüber.
Henning Basold
Ich interessiere mich auch für Computerprogrammierung und Mathematikstudent. Mein Vorgesetzter ist Topologe. Aber ich möchte in mathematikbezogener Mathematik wie der linearen Algebra forschen. Ich brauche Hilfe, um mein Diplomarbeitsthema zu durchsuchen, damit ich in der theoretischen Informatik forschen kann, aber ich weiß nicht, wo ich anfangen soll. Benötigen Sie Hilfe für mein Diplomarbeitsthema, damit ich in meinem interessierten Bereich forschen kann.
Syed Muhammad Asad
@SyedMuhammadAsad Ich bin auch ein Student, also bin ich nicht die Person, die fragt. Sie sollten einige Experten auf diesem Gebiet konsultieren. Die Topologie (insbesondere die algebraische) hat tiefe Verbindungen zur Typentheorie, sodass Sie dort beginnen können.
xrq

Antworten:

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Meines Wissens (was definitiv unvollständig ist) wurde relativ wenig daran gearbeitet, vermutlich weil es erforderlich ist, zwei relativ komplizierte Wissensbestände zu assimilieren. Wenig bedeutet jedoch nicht, dass es nicht existiert. Thierry Coquand und seine Mitarbeiter haben einige Artikel über die Zusammenhänge zwischen kommutativer Algebra und konstruktiver Logik verfasst.

  • Thierry Coquand, Henri Lombardi. Ein logischer Ansatz zur abstrakten Algebra .

    Dieses Papier hat mich als Doktorand sehr beeindruckt - die selbstbewusste und freie Art und Weise, Ideen aus der Beweistheorie und der Modelltheorie zu verwenden, um nicht triviale, richtige Mathematik zu betreiben, habe ich sehr bewundert und strebe immer noch danach.

  • Henri Lombardi und Claude Quitté haben ein (frei verfügbares) Lehrbuch, Kommutative Algebra: Konstruktive Methoden .

    Wie der Titel schon sagt, handelt es sich hierbei eher um eine kommutative Algebra als um eine algebraische Geometrie. Da jedoch die kommutative Algebra einen Großteil der Infrastruktur für die algebraische Geometrie bereitstellt, ist dies weiterhin von Interesse.

Es gibt auch eine Reihe sehr interessanter Doktorarbeiten in diesem Bereich:

  • Andres Mörtbergs Doktorarbeit Formalisierung von Verfeinerungen und konstruktiver Algebra in der Typentheorie

    Sobald Sie einen konstruktiven Beweis haben, haben Sie einen Algorithmus. Diese Arbeit befasst sich mit der Effizienz dieser Algorithmen.

  • Bassel Mannaas Doktorarbeit, Garbensemantik in konstruktiver Algebra und Typentheorie

    In dieser Arbeit beweist er konstruktiv die Richtigkeit des Newton-Puiseux-Theorems sowie die Unabhängigkeit von Markovs Prinzip. Es bietet ein schönes Beispiel dafür, wie garbensemantische Methoden sowohl in der Geometrie als auch in der Logik Anwendung finden.

  • Ingo Blechschmidts Doktorarbeit, Verwendung der internen Sprache von Toposen in algebraischer Geometrie,

    Diese Arbeit befasst sich mit der Wiederholung vieler der üblichen Beweise für algebraische Geometrie in der internen Sprache der kleinen Zariski-Topos, die mit einem Schema verbunden sind, und ergibt eine Art "synthetische algebraische Geometrie". (Er macht auch "synthetische Schematheorie" unter Verwendung der großen Zariski-Topos). Wie zu erwarten ist, müssen die Beweise in einem intuitionistischen Stil erstellt werden, da Topoi im Allgemeinen nicht boolesch sind.

Es lohnt sich auch, auf die folgende Referenz hinzuweisen:

Neel Krishnaswami
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Dies ist möglicherweise nicht genau das, wonach Sie suchen, aber eine Anwendung der algebraischen Geometrie in Programmiersprachen ist die Analyse linearer Schleifen:

Eine lineare Schleife ist ein sehr einfaches Programm der Form:

x=s

xF.

xEINx

s,xQ.dEINQ.d×dF.

EIN{EINns::nN.}}EIN

Als guten Ausgangspunkt können Sie sich das Papier Über die Komplexität des Orbit-Problems ansehen .

Shaull
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