Ist die Primzahlfunktion # P-complete?

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Denken Sie daran, dass π(n) die Anzahl der Primzahlen n die Primzahlfunktion ist . Bei "PRIMES in P" ist die Berechnung von π(n) in #P. Ist das Problem # P-vollständig? Oder gibt es vielleicht einen Grund für die Komplexität zu der Annahme, dass dieses Problem nicht # P-vollständig ist?

PS Mir ist klar, dass dies ein bisschen naiv ist, da jemand das Problem untersucht und dies bewiesen / widerlegt / vermutet haben muss, aber ich kann die Antwort nicht in der Literatur finden. Sehen Sie hier, wenn Sie neugierig sind, warum es mich interessiert.

Igor Pak
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@MohsenGhorbani: Nein, nicht die "gleichen" Probleme. Nicht einmal ähnlich.
Igor Pak
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Keine Beweise dagegen, nur neugierig: Kennen wir eine einzelne Funktion , die # P-vollständig ist und n wirklich als Zahl behandelt? Das heißt, wir können immer die Binärdarstellung von n betrachten und diese Binärzeichenfolge als SAT-Formel oder Diagramm behandeln, aber das möchte ich vermeiden. f(n)
Joshua Grochow
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@JoshuaGrochow Die "natürlichen" (nicht NT) harten Probleme, die ich mit einem Parameter kenne, sind alle in # EXP-c. Ein Beispiel für ein solches Problem: Anzahl der Kacheln von Quadrat mit einer festen Menge T von Kacheln (dh die Kacheln sind nicht in der Eingabe). Thm: es gibt T st dieses Problem ist # EXP-c. n×nTT
Igor Pak
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@Joshua Dies hängt ziemlich mit der NP-Vollständigkeit von , für die wir anscheinend noch keine definitive Antwort haben: cstheory.stackexchange.com/questions/14124/…f(n)
domotorp
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Beachten Sie, dass , also π seit Miller-Rabin in #P war. #PBPP=#Pπ
Emil Jeřábek unterstützt Monica

Antworten:

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Einige heuristische Beweise: Nach unserem Kenntnisstand sieht π(n) wie eine einfache Funktion aus, die durch zufällige Schwankungen korrigiert wird. Daher würde ich erwarten, dass eine Poly-Time-Maschine mit einem π(n) -Orakel nicht stärker ist als eine solche Maschine mit einem zufälligen Orakel, und wenn man ein zufälliges Orakel X schreibt und ein separates zufälliges Orakel Y zu P hinzufügt , erhält man #PXPXY mit der Wahrscheinlichkeit 1 (hier entspricht Yπ(n) und X ist ein unabhängiges zufälliges Orakel).

Geoffrey Irving
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Ich finde den letzten Satz irreführend. Während in der Tat , benötigen wir hier tatsächlich Pr X [ P PP X ] = 1 , und wir wissen nicht, ob dies wahr ist. In der Tat ist dies gleichbedeutend mit P P B P P . PrX[PPXPX]=1PrX[PPPX]=1PPBPP
Emil Jeřábek unterstützt Monica
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@ EmilJeřábek: Sicher, aber in Bezug auf die Beweise, dass nicht # P-vollständig ist, wenn man formal zeigen könnte, dass wenn es # P-vollständig ist, dann PP = BPP, würde ich das als ziemlich starken Beweis ansehen # P-Vollständigkeit ...π(n)
Joshua Grochow
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@ JoshuaGrochow Ich bin damit einverstanden. Ich denke einfach nicht, dass das Ergebnis auf mit zufälligem Orakel relevant ist. PXPPX
Emil Jeřábek unterstützt Monica
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@ EmilJeřábek: Ja, das ist ein guter Punkt. Würden Sie als Beweis dafür akzeptieren, dass zwei zufällige Orakel gegeben hat, von denen ich denke, dass wir sie kennen? PXY#PX
Geoffrey Irving
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Wissen wir das?
Emil Jeřábek unterstützt Monica