Wie kann man am besten testen, ob eine Kugel ein Polytop ist? (das einfache Steinitz-Problem)

Dies ist ein Cross-Post von MathOverflow.

Das Problem, zu testen, ob ein einfaches Gesichtsgitter (informell ein Poset von Gesichtern) polytopal ist, wird manchmal als Steinitz-Problem bezeichnet .

Sturmfels und Bokowski entwickelten Ende der 80er Jahre eine Reihe von Methoden , um zu testen, ob das Gesichtsgitter einer einfachen Sphäre auch als Polytop realisierbar war.

Die Methode verwendet orientierte Matroiden. Das Problem ist NP-schwer, so dass ihr Algorithmus im schlimmsten Fall exponentielle Zeit benötigt, aber sie berichteten, dass der Algorithmus oft schnell konvergierte. Lars Schewe hat kürzlich gezeigt, dass dieselbe Methode angepasst werden kann, um optimierte SAT-Löser zu verwenden, obwohl die zugrunde liegende Technik dieselbe zu sein scheint.

Ich bin gespannt, ob in den vergangenen Jahrzehnten neuere Ansätze entwickelt wurden, seit Sturmfels und Bokowski ihr Ergebnis veröffentlicht haben. Ist ihre Methode immer noch auf dem neuesten Stand der Technik? Gibt es darüber hinaus Software-Implementierungen, die dieses Problem lösen - auch mit dem älteren Ansatz?

In der MathOverflow-Diskussion wies Joe O'Rourke darauf hin, dass Polymake eine Funktion hat, die geometrische Realisierungen einfacher Komplexe zu berechnen scheint [GEOMETRIC_REALIZATION], aber dies garantiert meines Wissens keine Polytopalität.

Dies ist keine Antwort, nur ein Kommentar. Frank Lutz in Berlin ist einer der Experten zu diesem Thema, und Sie könnten ihn fragen. Er unterhält eine schöne Webseite, The Manifold Page , die viele Informationen und Referenzen enthält, einschließlich Beschreibungen der nichtpolytopalen 3-Sphäre von Barnette und der nichtpolytopalen 3-Sphäre von Grünbaum-Sreedharan.

Im Übrigen glaube ich, dass dieses Problem noch offen ist (wenn nicht, würde ich gerne wissen, wie es gelöst wird):

$\mathbb{R^3}$

Für eine ausreichend große Gattung (ich denke 5?) Gibt es nicht realisierbare Beispiele.