3-farbige planare Graphen in ?

Ich habe mich gefragt, ob die Suche nach planaren 3-Farben bekanntermaßen von Komplexität oder niedriger ist. Dies scheint eine intuitive Konsequenz zu sein, die auf den Ergebnissen planarer Trennzeichen basiert. In Wikipedia werden jedoch nur unabhängige Mengen, Steiner-Bäume, Hamilton-Zyklen und TSP erwähnt. Im Folgenden füge ich einige Überlegungen hinzu, von denen ich denke, dass sie diese Grenze fast erreichen.$O\left(c^{\sqrt{n}}\right)$

Ich glaube, mit einem auf Null reduzierten Entscheidungsdiagramm (ZDD) können Sie , und ich war neugierig, wie ich es besser machen könnte. Was ich mir ausgedacht habe, ist eher rudimentär. Hinweis: Der von mir beschriebene ZDD ist durchweg ternär, aber ich denke nicht, dass dies von großer Bedeutung ist. Für das ZDD ist bei einer Reihenfolge der zu farbigen Eckpunkte die Anzahl der Knoten in Schritt i exponentiell in Bezug auf die Größe der Grenze, F_i = \ {v_k | k <i \ land v_k ~ v_j, j \ geq i \} .$O\left(c^{O(log_2(n)\sqrt{n})}\right)$$L = \{v_1 \dots v_n\}$$i$$F_i = \{v_k | k < i \land v_k~v_j, j \geq i \}$

Um Ihre Reihenfolge $L$ zu erstellen , können Sie in Polynomzeit einen optimalen Verzweigungszerlegungsbaum $b$ erstellen , der höchstens die Breite $\sqrt{n}$ . Wählen Sie dann ein zufälliges Blatt $v’$ von $b$ als Ihre Wurzel. Bei einem BFS wird jede Kante $e$ mit der Anzahl der Blätter gewichtet, die nicht mit $v’$ verbunden sind , wenn Sie $e$ aus $b$ entfernen möchten . Führen Sie dann eine DFS durch, um schließlich $L$ zu erstellen. Gehen Sie dabei immer am weitesten von $v’$ weg , wählen Sie diejenige mit dem geringsten Gewicht aus, wenn es ein Unentschieden gibt, und wählen Sie willkürlich, wenn es noch ein Unentschieden gibt. Wenn wir ein Blatt erreichen, füge $(u,v)$$u$/ $v$ bis $L$ wenn beides nicht in $L$ . Sei $c_i$ die Komponente, die in $b$ durch die Eckpunkte induziert wird, die besucht wurden, als wir $v_i$ zu $L$ addierten . Dann wird $F_i$ durch die Verzweigungsbreite multipliziert mit der Anzahl der Kanten begrenzt, die $x_i$ von $b$ , um die Komponente $c_i$ . $x$ wird grob durch $log_2$ der Eckpunkte in $b$ , was linear zu $n$ da es sich um planare Graphen handelt.

Damit überprüfen Sie alle drei Farben für jeden Knoten für jede der $n$ Grenzen und sind fertig.

Ich empfehle, die Abschnitte 7 und 14 in dem ausgezeichneten Buch von Cygan, Fomin, Kowalik, Lokshtanov, Marx, Pilipczuk, Pilipczuk und Saurabh zu lesen .

Kurz gesagt, Gu und Tamaki geben einen quadratischen Zeitalgorithmus an, der eine Verzweigungszerlegung eines planaren Graphen mit einer Breite von höchstens . Dann geben Robertson und Seymour in (5.1) eine Baumzerlegung mit einer Breite von weniger als . Dann löst der klassische dynamische Programmieralgorithmus (siehe z. B. Marx ) -Färbung in der Zeit .$3\sqrt{n}$$\frac{9\sqrt{n}}{2}$$3$$3^{\frac{9\sqrt{n}}{2}}\textrm{poly}(n)<141^{\sqrt{n}}$

Andererseits ist bekannt ( Lichtenstein ), dass nach der Exponential Time Hypothesis (ETH) das planare Sat-Problem -hard ist. Und eine Reduzierung von Planar -SAT auf Planar -Färbung impliziert, dass es unter der ETH keinen Algorithmus gibt, der Planar -Färbung in der Zeit löst .$3$$2^{\Omega(\sqrt{n})}$$3$$3$$3$$2^{o(\sqrt{n})}$