In der Entscheidungsbaumkomplexität einer Booleschen Funktion besteht eine sehr bekannte Methode der unteren Grenze darin, ein (ungefähres) Polynom zu finden, das die Funktion darstellt. Paturi gab eine Charakterisierung für symmetrische boolesche (Teil- und Gesamt-) Funktionen in Form einer mit bezeichneten Größe an :
Satz ( Paturi ): Sei eine beliebige nicht konstante symmetrische Funktion und bezeichne wenn (dh das Hamming-Gewicht von ist ). Der ungefähre Grad von , bezeichnet mit , ist
Nun sei die Schwellenwertfunktion, dh wenn . In diesem Papier (siehe Abschnitt 8, Seite 15) , so dass .
Beachten Sie, dass für die Schwellenwertfunktion, denn wenn ist, ändert sich die Funktion von 0 auf 1. Habe ich recht?
Wenn ich den Satz von Paturi direkt auf diesen Wert von , erhalte ich nicht die Untergrenze für die in anderen Veröffentlichungen angegebene Schwellenwertfunktion. Ist der Wert von oben korrekt? Was vermisse ich?
Bearbeiten: Ich habe auch versucht, die untere Grenze des Quantengegners für den Schwellenwert zu berechnen. Lassen Sie uns zunächst den Satz überprüfen.
Satz (ungewichteter Quantengegner): Sei eine partielle boolesche Funktion und sei und eine Teilmenge von (harten) Eingaben. Sei eine Beziehung und setze für jede . Sei die minimale Anzahl von Einsen in einer Zeile bzw. einer Spalte in Beziehung , und sei die maximale Anzahl von Einsen in einer Zeile und Spalte in einer der Beziehungen . Dann ist .
Wenn ich als die Menge aller Eingaben mit einer Anzahl von 1s größer oder gleich und alle Eingaben mit 1s streng kleiner als , erhalte ich (nach einiger Algebra) das .
Trotzdem bekomme ich nicht die gleichen Untergrenzen, die in anderen Zeitungen angegeben wurden. Vergleichen wir nun diese Grenzen. Die folgende Abbildung zeigt für und ohne Quadratwurzeln einen Vergleich zwischen dem Satz von Paturi (blau), der Bindung des Gegners (rot) und der von anderen Arbeiten angegebenen Bindung (grün).
Meine Fragen sind:
1- Wie kann ich die Bindung in anderen Zeitungen melden lassen?
2- Sie können der Abbildung entnehmen, dass die gemeldete Untergrenze (grün) auch die Untergrenze von Paturi und die Grenze des Gegners beträgt. Schwächt das nicht die "echte" Untergrenze? Wenn Paturi beispielsweise sagt, dass wir für alle symmetrischen Funktionen diese Grenze haben, wie können Sie dann eine passende Obergrenze für die Quantenzählung erhalten ( )? Verstößt diese Obergrenze nicht gegen Paturis Theorem?
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Antworten:
Ich weiß nicht, wie Sie die Grenze von von der ursprünglichen Grenze aber hier ist der Beweis, dass diese Grenzen bis zu einem konstanten Faktor asymptotisch gleich sind:(t+1)(n−t+1)−−−−−−−−−−−−−−√ n(n−|(2(t−1)−n+1|)−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√
Sehen Sie zuerst, dass (ich schließe weil die Schwellenwertfunktion immer )t=0 1
Definiere , und .f1(t)=n(2t−1) f2(t)=n(2n−2t+1) g(t)=(t+1)(n−t+1)
Nun müssen Sie den Maximalwert (nach innerhalb der definierten Intervalle) der Brüche , , und berechnen . Sie können dies mit Hilfe der Differentialrechnung oder der Approximation mit Hilfe des Graphen tun (wobei groß genug ist):t f1(t)/g(t) f2(t)/g(t) g(t)/f1(t) g(t)/f2(t) n
Dies ergibt und auch das gewünschte Ergebnis
Gibt es eine einfachere Möglichkeit, dieses Ergebnis zu sehen / zu erhalten?
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