Ich schaue auf Seite 28 von Lovasz "Semidefinite Programme und kombinatorische Optimierung" und es gibt die folgende Annäherung an die Unabhängigkeitszahl des Graphen
Kann ich ein unabhängiges Set (oder etwas in der Nähe eines unabhängigen Sets) direkt aus der Lösung der SDP-Relaxation erhalten? Laut Lovasz ist SDP der einzige bekannte Weg, um dieses Problem genau für perfekte Grafiken zu lösen. Stimmt das noch?
Klarstellung: Es gibt eine ähnliche SDP-Relaxation für die Größe des maximalen Schnitts, und ich kann die vollständige Lösung (den tatsächlichen Schnitt anstelle seiner Größe) erhalten, indem ich die Quadratwurzel von Z nehme und eine zufällige Rundung durchführe (Kapitel 6 des Williamson / Shmoys-Buches) ). Ich frage mich, ob es für dieses Problem eine ähnliche Technik gibt
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Antworten:
Ich glaube, SDP ist die einzige bekannte Technik, um das Problem der maximalen unabhängigen Menge auf perfekten Graphen zu lösen. Um das unabhängige Set zu erhalten, könnte man Folgendes tun. Erraten Sie, ob sich ein Scheitelpunkt in der unabhängigen Menge befindet, löschen Sie ihn und lösen Sie das SDP. Wenn derselbe Wert zurückgegeben wird, gibt es eine unabhängige Menge ohne diesen Scheitelpunkt. Machen Sie diesen Scheitelpunkt also neben allen anderen Scheitelpunkten und fahren Sie fort. Dies sollte Ihnen einen tatsächlichen unabhängigen Satz geben.
Andernfalls haben wir einen Scheitelpunkt der unabhängigen Menge identifiziert, und wir können ihn entfernen und mit dem verbleibenden Diagramm fortfahren.
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Ich bin mir nicht sicher, ob Lovasz 'Kommentar noch gilt. In jüngster Zeit wurden einige Arbeiten zu diesem (und verwandten) Problemen an perfekten Graphen durchgeführt. Unter dem folgenden Link finden Sie Techniken, bei denen Nachrichten weitergeleitet werden, anstatt SDPs zu lösen: http://www.cs.columbia.edu/~jebara/papers/uai09perfect.pdf
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