Summe der Produkte mit begrenzten Koeffizienten

8

Das folgende Lemma ist nicht schwer zu beweisen.

Lemma : Sei c1c2cr[n] und . Wenn ganze Zahlen sind (einige von ihnen können negativ sein), so dass , dann ganze Zahlen befriedigend , so dass . Hier Mittel für einige positive Konstante .m 1 , m 2 , , m r m 1 c 1 + m 2 c 2 + + m r c r = k m ' 1 , m ' 2 , , m ' r m ' 1 c 1 + m ' 2 c 2 + +k[n]m1,m2,,mrm1c1+m2c2++mrcr=km1,m2,,mr| m ' 1 | + | m ' 2 | + + | m ' r | p o l y ( n ) p o l y ( n ) n c cm1c1+m2c2++mrcr=k|m1|+|m2|++|mr|poly(n)poly(n)ncc

Ich vermute, dass das obige Lemma bekannt ist. Ich suche eine Referenz des obigen Lemmas und die bestmögliche Bindung für .poly(n)

Shiva Kintali
quelle
1
Crosspost bei MathOverflow: mathoverflow.net/questions/58034/…
Hsien-Chih Chang 張顯 之

Antworten:

5

Eine -Bindung kann durch Bézouts Lemma erhalten werden :O(n2logr)

0<cinm i | m i | n log rgcd(c1,,cr)=imicimi|mi|nlogr

Dieses Lemma wird erhalten, indem Bézouts Lemma rekursiv auf zwei Variablen wird und die Identität .gcd(x1,x2,x3)=gcd(gcd(x1,x2),x3)

ohne Verlust der Allgemeinheit an, dass indem Sie auf beiden Seiten von . Nach Bézouts Lemma existieren ganze Zahlen mit so dassgcd ( c 1 , , c r ) i m i c i = k m i | m i | n log rgcd(c1,,cr)=1gcd(c1,,cr)imici=kmi|mi|nlogr

kimici=i(kmi)ci=k1,

durch Beobachtung von wir das gewünschte mit .m ' i = k m i | m ' i | = O ( n 2 log r )k=O(n)mi=kmi|mi|=O(n2logr)


Wenn Sie nach Literatur suchen, ist das Schlüsselwort inhomogene lineare diophantinische Gleichungen , die Gleichung wenn . Für die homogene kann man eine lineare Grenze für, siehe zB dieses oder dieses Papier . Was das inhomogene betrifft, so habe ich ein solches Ergebnis noch nicht gefunden; aber dieses Papier scheint relevant.k = 0 | m ' i |imici=kk=0|mi|

Hsien-Chih Chang 張顯 之
quelle
Ja. Ich habe . Ich frage mich, ob bekannt ist, dass es O ( n 2 ) ist . poly(n)=O(n3)O(n2)
Shiva Kintali